2017학년도 09월 나형 20번

20. 삼차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $x=-2$에서 극댓값을 갖는다.

(나) $f'(-3)=f'(3)$

<보기>에서 옳은 것만을 모두 고르시오.

ㄱ. 도함수 $f'(x)$는 $x=0$에서 최솟값을 갖는다.

ㄴ. 방정식 $f(x)=f(2)$는 서로 다른 두 실근을 갖는다.

ㄷ. 곡선 $y=f(x)$ 위의 점 $(-1,~f(-1))$에서의 접선은 점 $(2,~f(2))$를 지난다.

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i. 정리

• $y=f'(x)$는 이차함수이다.

• $x=-2$에서 극댓값을 갖는다.

  $f'(-2)=0$

• $f'(-3)=f'(3)$

  $y=f'(x)$의 대칭축은 $x=0$이다.

ii. 생각

이를 토대로 대충 $y=f'(x)$의 그래프와 $y=f(x)$의 개형을 생각해두자.

• $y=f'(x)$

  

  $\because~x=-2$에서 극댓값

• $y=f(x)$

  

iii. ㄱ

True

iv. ㄴ

True

$\because~x=2$에서 극솟값을 갖는다.

v. ㄷ

• 아...이건 그래프로 알아내기 힘드네.. 그럼 뭐 계산을 해야지

• $f'(x)=3a(x+2)(x-2)$라 하자. (단, $a>0$이고 계수가 $3a$인건 단순히 계산의 편의를 위해서)

  $f(x)=ax^3 -12ax +C\quad ($단, $C$는 상수$)$

• $(-1,~f(-1))$에서의 접선은?

  • $f'(-1)=-9a$

  $\therefore~y=-9a(x+1)+(-a+12a+C)$

• $(2,~f(2))$를 지나는 지 확인하자.

  • $f(2)=-16a+C$

  • 접선에서 $x=2$일 때의 $y$값은?

    $y(2)=-27a-a+12a+c=-16a+C$

$\therefore~$True