2017학년도 06월 나형 29번

29. 함수 $f(x)$는

이고, 좌표평면 위에 두 점 $A(-1,~-1),~B(1,~2)$가 있다. 실수 $x$에 대하여 점 $(x,~f(x))$에서 점 $A$까지의 거리의 제곱과 점 $B$까지의 거리의 제곱 중 크지 않은 값을 $g(x)$라 하자. 함수 $g(x)$가 $x=a$에서 미분가능하지 않은 모든 $a$의 값의 합이 $p$일 때, $80p$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $C(x,~f(x))$라 하면,
• $g(x)=\min\Big\{ \overline{CA}^2,~\overline{CB}^2\Big\}$

ii. 생각

• 선분의 길이의 대소 비교가 중요할 것이다.

• $g(x)$를 구해보자.

  $g(x)=\begin{cases}\overline{CA}^2 &(\overline{CA}\le \overline{CB})\\ \\ \overline{CB}^2 &(\overline{CA}>\overline{CB}) \end{cases}$

• 좀 생각해보면, $g(x)$의 값이 바뀌는 순간은 $\overline{CA}=\overline{CB}$일 때이다. 이를 그래프로 확인하면, 당연히 $\overline{AB}$의 수직 이등분선과 $y=f(x)$가 만날 때일 것이다.

  

  즉, $y=f(x)$와 $\overline{AB}$의 수직이등선의 교점의 $x$좌표일 때가 미분불가능일 가능성이 있는 점일 것이다.

  ($B$는 왜 안 될까? $C=B$가 되는 순간을 생각해보면, $x\to 1-$ 일 때나, $x\to 1+$일 때의 미분계수는 $0$으로 미분가능하다!)

  $\overline{AB}$의 수직이등분선 : $\overline{AB}$의 중점 $(0,~\cfrac 12)$, $\overline{AB}$의 기울기 $=\cfrac 32$

  $\therefore~y=-\cfrac 23 x+\cfrac 12$

  • $\begin{cases} y=x+1\\ \\ y=-\cfrac 23 x +\cfrac 12\end{cases}\quad \longrightarrow \quad x=-\cfrac 3{10}$
  • $\begin{cases} y=-2x+4\\ \\ y=-\cfrac 23x +\cfrac 12\end{cases}\quad \longrightarrow\quad x=\cfrac {21}8$

$\therefore~x=-\cfrac 3{10},~\cfrac {21}8$에서 미분불가능하다.

$\therefore~80p=186$