2023년 07월 15번

15. 모든 항이 자연수인 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $a_1<300$$a_1<300$

(나) 모든 자연수 $n$$n$에 대하여 $\begin{array}{c}{a}_{n+1}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{3}{a}_n& ({\log }_3{a}_n\text{이 자연수인 경우})\\ a_n+6& ({\log }_3{a}_n\text{이 자연수가 아닌 경우})\end{array}\end{array}$$a_{n+1}=\begin{cases} \cfrac 13a_n&(\log_3 a_n\text{이 자연수인 경우})\\ a_n+6&(\log_3 a_n\text{이 자연수가 아닌 경우})\end{cases}$이다.

$\sum _{k=4}^7{a}_k=40$$\sum\limits_{k=4}^7a_k=40$이 되도록 하는 모든 $a_1$$a_1$의 값의 합을 구하시오.

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i. 생각

• $a_4+a_5+a_6+a_7=40$$a_4+a_5+a_6+a_7=40$

• 위의 항 $4$$4$개 중에 $3^m(m$$3^m ~(m$은 자연수$)$$)$의 형태가 포함되어 있을 때와 아닐 때로 나뉘겠다....

ii. $3^m$$3^m$의 형태가 없을 경우

$a_4,a_4+6,a_4+12,a_4+18=4a_4+36=40$$a_4,~a_4+6,~a_4+12,~a_4+18=4a_4+36=40$

$\therefore a_4=1$$\therefore~ a_4=1$

이제 거꾸로 유추하면,

$a_3=3⟶a_2=9⟶a_1=27$$a_3=3\quad \longrightarrow \quad a_2=9\quad \longrightarrow \quad a_1=27$

iii. $3^m$$3^m$의 형태가 존재하는 경우?

$1,3,9,27,81,\cdots$$1,~3,~9,~27,~81,~\cdots$

$a_4$$a_4$부터 $a_7$$a_7$ 중에서 가능한 것은 $1,3,9,27$$1,~3,~9,~27$ 중의 하나이다! 그리고 $6$$6$을 더해서 $3

i. $3^m$$3^m$ 형태가 한 개인 경우

$a_4=1$$a_4=1$이거나 $a_7=27$$a_7=27$인 경우 밖에 없다.

i. $a_4=1$$a_4=1$

$a_5=7,a_6=13,a_7=19$$a_5=7,~a_6=13,~a_7=19$

$\sum _{n=4}^7{a}_n=40$$\sum\limits_{n=4}^7a_n=40$

ii. $a_7=27$$a_7=27$일 때,

$a_6=21$$a_6=21$

이미 조건 위배

ii. $3^m$$3^m$의 형태가 두 개인 경우

$a_4=3$$a_4=3$인 경우

$a_5=1,a_6=7,a_7=13$$a_5=1,~a_6=7,~a_7=13$

조건 위배

iii. $3^m$$3^m$의 형태가 세 개인 경우

$a_4=9,a_5=3,a_6=1,a_7=7$$a_4=9,~a_5=3,~a_6=1,~a_7=7$

조건에 위배

iv. 전부 $3^m$$3^m$의 경우

$a_4=27,a_5=9,a_6=3,a_7=1$$a_4=27,~a_5=9,~a_6=3,~a_7=1$

iv. 나머지 $a_1$$a_1$을 구하자

$a_4=27⟶a_3=21⟶a_2=15a_1=9$$a_4=27\quad \longrightarrow \quad a_3=21\quad \longrightarrow \quad a_2=15\quad a_1=9$

그런데, $a_1=9$$a_1=9$ 이면 $a_2=3$$a_2=3$이어야 하므로 위배

$\begin{array}{c}{a}_4=27⟶a_3=81⟶\{\begin{array}{l}{a}_2=75⟶a_1=69\\ a_2=243⟶a_1=237\end{array}\end{array}$$a_4=27\quad \longrightarrow \quad a_3=81\quad \longrightarrow \quad \begin{cases} a_2=75\quad \longrightarrow \quad a_1=69\\ a_2=243\quad \longrightarrow \quad a_1=237\end{cases}$

v. 계산

따라서 가능한 $a_1=27,69,237$$a_1=27,~69,~237$

$\therefore 333$$\therefore~ 333$