2023년 07월 21번

21. 그림과 같이 곡선 $y=2^{x-m}+n(m>0,n>0)$$y=2^{x-m}+n~(m>0,~n>0)$과 직선 $y=3x$$y=3x$가 서로 다른 두 점 $A,B$$A,~B$에서 만날 때, 점 $B$$B$를 지나며 직선 $y=3x$$y=3x$에 수직인 직선이 $y$$y$축과 만나는 점을 $C$$C$라 하자. 직선 $CA$$CA$가 $x$$x$ 축과 만나는 점을 $D$$D$라 하면 점 $D$$D$는 선분 $CA$$CA$를 $5:3$$5:3$으로 외분하는 점이다.

삼각형 $ABC$$ABC$의 넓이가 $20$$20$일 때, $m+n$$m+n$의 값을 구하시오. (단, 점 $A$$A$의 $x$$x$ 좌표는 점 $B$$B$의 $x$$x$ 좌표보다 작다.)

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i. 생각

• 우선 표현할 거 표현하고, 삼각형 $ABC$$ABC$의 넓이를 이용하자.

  • $B(3b,9b)$$B(3b,~9b)$라 하자. (수직인 직선의 기울기의 계산을 편히 하기 위해서)

    점 $B$$B$를 지나고$y=3x$$y=3x$에 수직인 직선을 구하자.

    $y=-\frac{1}{3}(x-3b)+9b$$y=-\cfrac 13 (x-3b)+9b$

    $y=-\frac{1}{3}x+10b$$y=-\cfrac 13 x +10b$

    $\therefore C(0,10b)$$\therefore~ C(0,~10b)$

  • $\overline{CA}:\overline{AD}=2:3$$\overline{CA}: \overline{AD}=2:3$이다. ($\because$$\because~$점 $D$$D$는 $CA$$CA$를 $5:3$$5:3$으로 외분하는 점이다.)

    $C(0,10b)$$C(0,~10b)$이므로 $A$$A$의 $y$$y$좌표는 $6b$$6b$이다!

    $\therefore A(2b,6b)$$\therefore~ A(2b,~6b)$

  • 세 점 $A,B,C$$A,~B,~C$의 좌표를 구했으니까 넓이를 이용하자.

    $\begin{array}{c}\frac{1}{2}|\begin{array}{cccc}0& 2b& 3b& 0\\ 10b& 6b& 9b& 10b\end{array}|=\frac{1}{2}|(20b^2+18b^2)-(18b^2+30b^2)|=20\end{array}$$\cfrac 12 \Big|\begin{matrix}0&2b&3b&0\\ 10b&6b&9b&10b \end{matrix}\Big|=\cfrac 12 \Big| (20b^2 +18b^2 )-(18b^2+30b^2)\Big|=20$

    계산하면, $b=2$$b=2$

    $\therefore A(4,12),B(6,18)$$\therefore~ A(4,~12),~B(6,~18)$

• 곡선에 대입해서 $m,n$$m,~n$을 구하자.

  $2^{4-m}+n=12,2^{6-m}+n=18$$2^{4-m}+n=12,~2^{6-m}+n=18$

  $64\cdot 2^{-m}-16\cdot 2^{-m}=6⟶m=3$$64\cdot 2^{-m} -16\cdot 2^{-m} =6\quad \longrightarrow \quad m=3$

  $\therefore n=10$$\therefore~ n=10$

$\therefore m+n=13$$\therefore~ m+n=13$

$\text{※}$$\textreferencemark$ 세 점의 좌표가 주어졌을 때, 삼각형의 넓이 구하기

$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$$A(x_1,~y_1),~B(x_2,~y_2),~C(x_3,~y_3)$라 하면,

$\mathrm{△}ABC$$\triangle ABC$의 넓이 $S$$S$는 다음과 같이 계산할 수 있다.

$\begin{array}{rl}S& =\frac{1}{2}|\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& x_3& x_1\\ y_1& y_2& y_3& y_1\end{array}|\\ & =\frac{1}{2}|(x_2{y}_1+x_3{y}_2+x_1{y}_3)-(x_1{y}_2+x_2{y}_3+x_3{y}_1)|\end{array}$$\begin{aligned} S&=\cfrac 12 \Big| \begin{matrix}x_1 &x_2&x_3 &x_1\\ y_1&y_2& y_3&y_1\end{matrix}\Big|\\ &= \cfrac 12 \Big| (x_2y_1 +x_3y_2+x_1y_3)-(x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1)\Big|\end{aligned}$

이 공식(?)의 출처는 공업수학 벡터의 외적...;;; 그렇다...교과외 과정이다 ㅡ0ㅡ;;

근데 이미 알고 쓰는 아해들 꽤 있을 껄?

좀 더 외우기 쉬운 방법(?)은 그냥 좌표를 세로로 순서대로 쓰고 처음 쓴 좌표를 한 번 더 쓴다. 그리고 계산은 $/$$/$ 방향으로 곱해서 다 더하고, $\mathrm{\setminus }$$\backslash$ 방향으로 곱해서 다 더한 걸 서로 빼서 절대값을 씌운다.