2023년 07월 14번

14. 최고차항의 계수가 $1$$1$이고 $f(-3)=f(0)$$f(-3)=f(0)$인 삼차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$$g(x)$를 $\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{ll}f(x)& (x<-3\text{또는}x\ge 0)\\ -f(x)& (-3\le x<0)\end{array}\end{array}$$g(x)=\begin{cases} f(x)&(x<-3~\text{또는}~x\ge 0) \\ -f(x)&(-3\le x<0)\end{cases}$이라 하자. 함수 $g(x)g(x-3)$$g(x)g(x-3)$이 $x=k$$x=k$에서 불연속인 실수 $k$$k$의 값이 한 개일 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

ㄱ. 함수 $g(x)g(x-3)$$g(x)g(x-3)$은 $x=0$$x=0$에서 연속이다.

ㄴ. $f(-6)\times f(3)=0$$f(-6)\times f(3)=0$

ㄷ. 함수 $g(x)g(x-3)$$g(x)g(x-3)$이 $x=k$$x=k$에서 불연속인 실수 $k$$k$가 음수일 때 집합 $\{x|f(x)=0,x$$\{x|f(x)=0,~x$는 실수$\}$$\}$의 모든 원소의 합이 $-1$$-1$이면 $g(-1)=-48$$g(-1)=-48$이다.

 

---

i. 생각

• 그래프 개형을..................아...경우가 너무 많다...GG!

• 그런데 불연속이 될 가능성은 $x=-3,0,3$$x=-3,~0,~3$ 중의 하나일 것이다.

  $g(x)$$g(x)$는 $x=-3,0$$x=-3,~0$에서 불연속이 될 가능성이 있고.. (연속일 수도 있지 뭐..)

  $g(x-3)$$g(x-3)$은 $g(x)$$g(x)$를 $x$$x$축으로 $3$$3$만큼 이동했으니 $x=0,3$$x=0,~3$에서 불연속의 가능성이 있다.

  그 외의 $x$$x$값은 당연히 연속임을 유추할 수 있다.

• $h(x)=g(x)g(x-3)$$h(x)=g(x)g(x-3)$이라 하자....

ii. ㄱ

• $\underset{x\to 0-}{lim}h(x)=-f(0)f(-3)$$\lim\limits_{x\to 0-}h(x)=-f(0)f(-3)$

• $\underset{x\to 0+}{lim}h(x)=f(0)\times -f(-3)$$\lim\limits_{x\to 0+}h(x)=f(0)\times -f(-3)$

• $h(0)=f(0)\times -f(-3)$$h(0)=f(0)\times -f(-3)$

$\therefore True$$\therefore~ True$

$x=-3$$x=-3$ 또는 $x=3$$x=3$에서 불연속임을 알 수 있다!

iii. ㄴ

$h(-3)$$h(-3)$과 $h(3)$$h(3)$을 생각해야겠다.. ($\because f(-6)$$\because~f(-6)$과 $f(3)$$f(3)$을 활용해야한다.)

i. $x=3$$x=3$에서 연속이고 $x=-3$$x=-3$에서 불연속일 경우

• $\underset{x\to 3-}{lim}h(x)=\underset{x\to 3+}{lim}h(x)$$\lim\limits_{x\to 3-}h(x)=\lim\limits_{ x\to 3+}h(x)$

  $f(3)\times -f(0)=f(3)f(0)$$f(3)\times -f(0)=f(3)f(0)$

  $\therefore f(3)=0$$\therefore~ f(3)=0$ 또는 $f(0)=0$$f(0)=0$

  그런데, $f(-3)=f(0)=0$$f(-3)=f(0)=0$이면 $h(x)$$h(x)$는 불연속인 지점이 존재하지 않는다.

  $\therefore f(3)=0$$\therefore~ f(3)=0$

ii. $x=-3$$x=-3$에서 연속이고 $x=-3$$x=-3$에서 불연속이면?

• $\underset{x\to -3-}{lim}h(x)=\underset{x\to -3+}{lim}h(x)$$\lim\limits_{ x\to -3-}h(x)=\lim\limits_{ x\to -3+}h(x)$

  $-f(-3)\times f(6)=f(-3)f(6)$$-f(-3)\times f(6)=f(-3)f(6)$

  $\therefore f(-3)=0$$\therefore~ f(-3)=0$ 또는 $f(6)=0$$f(6)=0$

  마찬가지로 $f(-3)=f(0)=0$$f(-3)=f(0)=0$이면 $h(x)$$h(x)$는 불연속인 점이 존재하지 않는다.

  $\therefore f(6)=0$$\therefore~ f(6)=0$

$\therefore f(-6)\times f(3)=0$$\therefore~ f(-6)\times f(3)=0$

$True$$True$

iv. ㄷ

$x=-3$$x=-3$에서 불연속이라는 소리니까 $x=3$$x=3$에서 연속이다.

ㄴ에서 $f(3)=0$$f(3)=0$임을 알 수 있다.

$f(x)=(x-3)(x^2+ax+b)$$f(x)=(x-3)(x^2 +ax+b)$이라 하자.

$f(0)=f(-3)$$f(0)=f(-3)$을 이용하면,

$-3b=-54+18a-6b$$-3b=-54+18a-6b$

$b=-18+6a$$b=-18+6a$

$\therefore f(x)=(x-3)(x^2+ax+6a-18)$$\therefore~ f(x)=(x-3)(x^2 +ax+6a-18)$

i. 서로 다른 세 실근 $\alpha ,\beta ,\gamma$$\alpha,~\beta,~\gamma$를 가진다고 가정하면,

$\alpha +\beta +\gamma =3-a=-1$$\alpha+\beta+\gamma=3-a=-1$

$\therefore a=4$$\therefore~ a=4$

$f(x)=(x-3)(x^2+4x+6)$$f(x)=(x-3)(x^2+4x+6)$

어? 허근을 가진다...

ii. $\alpha ,3,3$$\alpha,~3,~3$의 근을 가지면?

$\alpha +3=-1$$\alpha +3=-1$

$\alpha =-4$$\alpha=-4$

$\begin{array}{rl}f(x)& =(x-3{)}^2(x+4)\\ & =(x-3)(x-3)(x+4)\\ & =(x-3)(x^2+x-12)\end{array}$$\begin{aligned} f(x)&=(x-3)^2 (x+4)\\ &= (x-3)(x-3)(x+4)\\ &=(x-3)(x^2 +x-12) \end{aligned}$

$-12=6-18(b=-18+6a)$$-12=6-18\quad (b=-18+6a)$

$g(-1)=-f(-1)=-16\times 3=-48$$g(-1)=-f(-1)=-16\times 3=-48$

오호!

iii. $\alpha ,\alpha ,3$$\alpha,~\alpha,~3$인 경우

$\alpha =-4$$\alpha=-4$

$\begin{array}{rl}f(x)& =(x-3)(x+4{)}^2\\ & =(x-3)(x^2+8x+16)\end{array}$$\begin{aligned} f(x)&=(x-3)(x+4)^2 \\ &=(x-3)(x^2 +8x+16)\end{aligned}$

$16\ne 48-18(b=-18+6a)$$16\neq 48-18\quad (b=-18+6a)$

$\therefore True$$\therefore~ True$