2023년 07월 13번

13. 그림과 같이 평행사변형 $ABCD$$ABCD$가 있다. 점 $A$$A$에서 선분 $BD$$BD$에 내린 수선의 발을 $E$$E$라 하고, 직선 $CE$$CE$가 선분 $AB$$AB$와 만나는 점을 $F$$F$라 하자.

$\cos (\mathrm{\angle }AFC)=\frac{\sqrt{10}}{10},\overline{EC}=10$$\cos (\angle AFC)=\cfrac{\sqrt{10}}{10},~\overline{EC}=10$이고 삼각형 $CDE$$CDE$의 외접원의 반지름의 길이가 $5\sqrt{2}$$5\sqrt 2$일 때, 삼각형 $AFE$$AFE$의 넓이를 구하시오.

---

i. 생각

• $\mathrm{△}BEF$$\triangle BEF$와 $\mathrm{△}DEC$$\triangle DEC$는 닮음이다. (맞꼭지각과 엇각)

  $\mathrm{\angle }BFE=\mathrm{\angle }ECD$$\angle BFE=\angle ECD$ 등등...

• $\mathrm{△}CDE$$\triangle CDE$의 외접원의 반지름을 이용하자.

  $\frac{\overline{EC}}{\sin (\mathrm{\angle }EDC)}=10\sqrt{2}$$\cfrac {\overline{EC}}{\sin (\angle EDC)}=10\sqrt 2$

  $\therefore \mathrm{\angle }EDC=\frac{\pi }{4}$$\therefore~ \angle EDC=\cfrac {\pi}4$

  어? 특수각이다!

  • 점 $C$$C$에서 선분 $BD$$BD$에 내린 수선의 발을 $H$$H$라 하자.

    

    $\mathrm{△}AEB\equiv \mathrm{△}DHC$$\triangle AEB \equiv \triangle DHC$ 이고 직각이등변삼각형이다.

• 여기서 생각을 좀 해보자.

  아직 사용하지 않은 조건인 $\cos (\mathrm{\angle }AFC)$$\cos (\angle AFC)$를 이용해야 한다.

  $\mathrm{\angle }BFE=\mathrm{\angle }ECD$$\angle BFE=\angle ECD$

  어? $\sin \mathrm{\angle }ECD$$\sin \angle ECD$를 알아내면 $\overline{ED}$$\overline{ED}$를 구할 수 있다.

  그리고 코사인 제$2$$2$법칙을 이용하면 $\overline{CD}$$\overline{CD}$를 구할 수 있다.

  $\overline{BE}=\overline{HD}=\frac{\overline{CD}}{\sqrt{2}}$$\overline{BE}=\overline{HD}=\cfrac {\overline{CD}}{\sqrt 2}$

  $\mathrm{△}BEF,\mathrm{△}DEC$$\triangle BEF,~\triangle DEC$의 닮음비를 구할 수 있다.

  $\overline{BF}$$\overline{BF}$를 알면 $\overline{AF}$$\overline{ AF}$를 알 수 있다.

  닯음비를 이용하여 $\overline{FE}$$\overline{FE}$를 구할 수 있다.

ii. 계산

• $\cos (\pi -\mathrm{\angle }AFC)=-\cos (\mathrm{\angle }AFC)=-\frac{\sqrt{10}}{10}$$\cos (\pi -\angle AFC)=-\cos(\angle AFC)=-\cfrac {\sqrt {10}}{10}$

  $\sin (\mathrm{\angle }BFE)=\frac{3\sqrt{10}}{10}=\sin (\mathrm{\angle }ECD)$$\sin (\angle BFE)=\cfrac {3\sqrt{10}}{10}=\sin (\angle ECD)$

  $\frac{\overline{ED}}{\sin (\mathrm{\angle }ECD)}=10\sqrt{2}$$\cfrac{\overline{ED}}{\sin (\angle ECD)}=10\sqrt 2$

  $\therefore \overline{ED}=6\sqrt{5}$$\therefore~ \overline{ED}=6\sqrt 5$

• 이제 코사인 제$2$$2$법칙을 이용하건, 직각삼각형 $EHC$$EHC$를 이용하건 아무튼 $\overline{CD}$$\overline{CD}$를 구하자.

  $\overline{CD}=2\sqrt{10}$$\overline{CD}=2\sqrt {10}$

  $\overline{BE}:\overline{ED}=2\sqrt{5}:6\sqrt{5}=1:3$$\overline{BE}:\overline{ED}=2\sqrt 5 : 6\sqrt 5=1:3$

  $\overline{BF}=\frac{1}{3}2\sqrt{10}$$\overline{BF}=\cfrac 13 2\sqrt {10}$

  $\overline{AF}=\frac{4}{3}\sqrt{10}$$\overline{AF}=\cfrac 43{\sqrt {10}}$

  $\overline{FE}=\frac{1}{3}\cdot 10$$\overline{ FE}=\cfrac 13 \cdot 10$

$\therefore \mathrm{△}AFE=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\sqrt{10}\cdot \frac{10}{3}\frac{3\sqrt{1}0}{10}=\frac{20}{3}$$\therefore~ \triangle AFE=\cfrac 12\cdot \cfrac 43 \sqrt {10}\cdot \cfrac {10}3\cfrac {3\sqrt 10}{10}=\cfrac {20}3$