2024학년도 06월 21번

21. 실수 $t$$t$에 대하여 두 곡선 $y=t-{\log }_{2}x$$y=t-\log_2 x$와 $y=2^{x-t}$$y=2^{x-t}$이 만나는 점의 $x$$x$좌표를 $f(t)$$f(t)$라 하자. <보기>의 각 명제에 대하여 다음 규칙에 따라 $A,B,C$$A,~B,~C$의 값을 정할 때, $A+B+C$$A+B+C$의 값을 구하시오. (단, $A+B+C\ne 0$$A+B+C\neq 0$)

• 명제 ㄱ이 참이면 $A=100$$A=100$, 거짓이면 $A=0$$A=0$이다.

• 명제 ㄴ이 참이면 $B=10$$B=10$, 거짓이면 $B=0$$B=0$이다.

• 명제 ㄷ이 참이면 $C=1$$C=1$, 거짓이면 $C=0$$C=0$이다.

<보기>

ㄱ. $f(1)=1$$f(1)=1$이고 $f(2)=2$$f(2)=2$이다.

ㄴ. 실수 $t$$t$의 값이 증가하면 $f(t)$$f(t)$의 값도 증가한다.

ㄷ. 모든 양의 실수 $t$$t$에 대하여 $f(t)\ge t$$f(t)\ge t$이다.

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i. 생각

• 지수와 로그 함수가 나왔다! 역함수 관계일까?

  $y=t-{\log }_{2}x$$y=t-\log_2 x$의 역함수를 구하면,

  $x=t-{\log }_{2}y$$x=t-\log_2y$

  ${\log }_{2}y=t-x$$\log_2y=t-x$

  $y=2^{t-x}$$y=2^{t-x}$

  아...역함수가 아니다. 어?

  $y=2^{-(x-t)}$$y=2^{-(x-t)}$이고...혹시 $y$$y$축 대칭인가?

  $y=2^{-(-x-t)}=2^{x+t}$$y=2^{-(-x-t)} =2^{x+t}$

  아니네...

• 그럼 대충 그래프를 그릴 각오를 해야겠다.

ii. ㄱ

• $f(1)=1$$f(1)=1$일까?

  $t=1$$t=1$일 때, $x=1$$x=1$을 $y=t-{\log }_{2}x$$y=t-\log_2x$에 대입하면,

  $y=1-{\log }_{2}1⟶y=1$$y=1-\log_2 1\quad \longrightarrow \quad y=1$

  $y=2^{x-t}$$y=2^{x-t}$가 참인지 계산하면,

  $1=2^{1-1}$$1=2^{1-1}$

• $f(2)=2$$f(2)=2$일까?

  마찬가지로 계산하면,

  $y=2-{\log }_{2}2⟶y=1$$y=2-\log_22\quad \longrightarrow \quad y=1$

  $1=2^{2-2}$$1=2^{2-2}$

$\therefore True$$\therefore~ True$

iii. ㄴ

대충 그래프를 그리자.

뭐 정확할 필요는 없다. 그냥 대충 그려보면 알 껄?

$\therefore True$$\therefore~ True$

iv. ㄷ

• $y=f(t)$$y=f(t)$에 대해 아는 사실을 정리해보자.

  • $(1,f(1)),(2,f(2))$$(1,~f(1)),~(2,~f(2))$를 지난다.

  • 연속함수이다.

  • 증가한다. ($t$$t$값에 비례하여 증가하지 않음은 눈치로 알 수 있다...)

    $f(t)=t$$f(t)=t$가 명백히 아니다!

ㄱ과 ㄴ의 조합에다가 $f(t)\ne t$$f(t)\neq t$인 건 뭐....

어? 증가한다....어떤 식으로 증가할까?

주어진 두 곡선을 살펴보면 $y=t-{\log }_{2}x$$y=t-\log_2 x$는 $y=-{\log }_{2}x$$y=-\log_2 x$를 $y$$y$축으로 $t$$t$만큼 이동시킨 그래프이고, $y=2^{x-t}$$y=2^{x-t}$는 $y=2^x$$y=2^x$를 $x$$x$축으로 $t$$t$만큼 이동시킨 그래프이다. 그리고 이 두 교점의 $x$$x$좌표가 $f(t)$$f(t)$로 정의되어 있다.

이를 볼 때, $f(t)$$f(t)$의 값은 $y=t-{\log }_{2}x$$y=t-\log_2 x$보다 $y=2^{x-t}$$y=2^{x-t}$의 영향을 훨씬 더 크게 받을 것이다. 즉, $f(t)$$f(t)$는 $t$$t$가 커질수록 급격하게 증가함 유추할 수 있다. 그런데, $f(1)=1,f(2)=2$$f(1)=1,~f(2)=2$를 만족시킨다?

당연히 $1<t<2$$1<t<2$인 구간에서 $f(t)<t$$f(t)<t$일 수 밖에 없다.

 

$\therefore False$$\therefore~False$

 

$\therefore A+B+C=110$$\therefore~ A+B+C=110$