2023년 05월 15번

15. 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$에 대하여 $a_1$$a_1$의 최댓값을 $M$$M$, 최솟값을 $m$$m$이라 할 때, ${\log }_2\frac{M}{m}$$\log_2\cfrac Mm$의 값을 구하시오.

(가) 모든 자연수 $n$$n$에 대하여 $\begin{array}{c}{a}_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{2}^{n-2}& (a_n<1)\\ {\log }_2{a}_n& (a_n\ge 1)\end{array}\end{array}$$a_{n+1} =\begin{cases} 2^{n-2}&(a_n<1) \\ \log_2 a_n &(a_n\ge 1)\end{cases}$이다.

(나) $a_5+a_6=1$$a_5+a_6=1$

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수열문제는 지겹게도 나오네... 뭐 그냥 따라가면 풀리는 문제니까...

i. 정리

주어진 조건을 보니 어!!!! 수열 $a_n\ge 0$$a_n\ge 0$이다!!

지수 함수 꼴이고, 로그함수인데 정의역이 $1$$1$보다 크다! 물론 정의역은 자연수!!!

ii. 따라가자.

• $\begin{array}{c}{a}_6=1-a_5=\{\begin{array}{ll}{2}^3& (a_5<1)\\ {\log }_2{a}_5& (a_5\ge 1)\end{array}\end{array}$$a_6=1-a_5=\begin{cases} 2^3 &(a_5<1)\\ \log_2 a_5&(a_5\ge 1)\end{cases}$

  $a_6=8$$a_6=8$이면 $a_5<0$$a_5<0$이므로 모순!

  $\therefore a_6={\log }_2{a}_5$$\therefore~ a_6=\log_2 a_5$

  어랏...?

  에잇...대입하자.

  $1-a_5={\log }_2{a}_5⟶1=a_5+{\log }_2{a}_5$$1-a_5=\log_2 a_5 \quad \longrightarrow \quad 1=a_5+\log_2 a_5$

  좀 풀어야 하나...?

  $\begin{array}{rl}1& ={\log }_2{2}^{a_5}+{\log }_2{a}_5\\ & ={\log }_2{a}_5{2}^{a_5}\end{array}$$\begin{aligned} 1&= \log_2 2^{a_5} +\log_2 a_5\\&= \log_2 a_5 2^{a_5}\end{aligned}$

  $\therefore 2=a_5{2}^{a_5}$$\therefore~ 2=a_52^{a_5}$

  오호라~! $a_5=1$$a_5=1$ 그리고 $a_6=0$$a_6=0$

• $a_5=1⟶a_5={\log }_2{a}_4(a_4\ge 1)$$a_5=1\quad \longrightarrow \quad a_5=\log_2a_4\quad (a_4\ge 1)$

  $\therefore a_4=2$$\therefore~ a_4=2$

• $\begin{array}{c}{a}_4=\{\begin{array}{ll}2& (a_3<1)\\ {\log }_2{a}_3& (a_3\ge 1)\end{array}\end{array}$$a_4=\begin{cases} 2&(a_3<1)\\ \log_2 a_3 &(a_3\ge 1)\end{cases}$

  i. $0\le a_3<1$$0\le a_3<1$

  $a_3={\log }_2{a}_2(a_2\ge 1)$$a_3=\log_2a_2 \quad (a_2\ge 1)$

  $\to 0\le {\log }_2{a}_2<1$$\rightarrow \quad 0\le \log_2 a_2<1$

  $\to 1\le a_2<2$$\rightarrow \quad 1\le a_2<2$

  이제 $a_1$$a_1$을 구하자.

  $a_2={\log }_2{a}_1$$a_2 =\log_2a_1$만 가능하네?

  $1\le {\log }_2{a}_1<2⟶2\le a_1<4$$1\le \log_2a_1<2\quad \longrightarrow \quad 2\le a_1<4$

  ii. $a_3\ge 1$$a_3\ge 1$

  $2={\log }_2{a}_3⟶a_3=4$$2=\log_2a_3 \quad \longrightarrow \quad a_3=4$

  $a_3={\log }_2{a}_2$$a_3=\log_2a_2$만 가능하다.

  $\therefore a_2=16$$\therefore~ a_2=16$

  이제 마지막으로 $a_1$$a_1$을 구하면,

  $16={\log }_2{a}_1(a_1\ge 1)$$16=\log_2a_1\quad (a_1\ge 1)$

  $\therefore a_1=2^{16}$$\therefore~ a_1=2^{16}$

$\therefore M=2^{16},m=2$$\therefore~ M=2^{16},~m=2$

$\therefore {\log }_2\frac{M}{m}=15$$\therefore~ \log_2\cfrac Mm=15$