2023년 03월 22번

최고차항의 계수가 $1$$1$인 사차함수 $f(x)$$f(x)$가 있다. 실수 $t$$t$에 대하여 함수 $g(x)$$g(x)$를 $g(x)=|f(x)-t|$$g(x)=|f(x)-t|$라 할 때, $\underset{x\to k}{lim}\frac{g(x)-g(k)}{|x-k|}$$\lim\limits_{x\to k}\cfrac{g(x)-g(k)}{|x-k|}$의 값이 존재하는 서로 다른 실수 $k$$k$의 개수를 $h(t)$$h(t)$라 하자. 함수 $h(t)$$h(t)$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\underset{t\to 4+}{lim}h(t)=5$$\lim\limits_{ t\to 4+} h(t)=5$

(나) 함수 $h(t)$$h(t)$는 $t=-60$$t=-60$과 $t=4$$t=4$에서만 불연속이다.

$f(2)=4$$f(2)=4$이고 $f^{\prime }(2)>0$$f'(2)>0$일 때, $f(4)+h(4)$$f(4)+h(4)$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $f(x)=x^4+\sim$$f(x)=x^4+\sim$

• $t\in \mathbb{R}g(x)=|f(x)-t|$$t\in \mathbb R\quad g(x)=|f(x)-t|$

  $y=f(x)$$y=f(x)$의 함수를 $y$$y$축으로 $t$$t$만큼 이동 후에 절댓값...

• $\underset{x\to k}{lim}\frac{g(x)-g(k)}{|x-k|}$$\lim\limits_{x\to k} \cfrac{g(x)-g(k)}{|x-k|}$ 의 값이 존재

  꺽이는 점에서도 값이 존재한다?

• $\underset{t\to 4+}{lim}h(t)=5\mathrm{\&}t=-60,4$$\lim\limits_{ t\to 4+} h(t)=5\quad \&\quad t=-60,~4$에서만 불연속

  저 값이 특이한 상황을 만들어 주겠구나.

ii. 생각

우선 그래프 개형을 그려보자. (편의상 $y=f(x)$$y=f(x)$를 대충 그린 것이다.)

불연속 점에 대해서만 생각해보면, $t=\alpha ,\beta ,\gamma$$t=\alpha,~\beta,~\gamma$에서 불연속이다. 어? 그런데 불연속 점은 $2$$2$개의 값뿐이다!!

그러면 극솟값이 일치해야겠다!

다시 그리자!!

조건에 따라 맞춘 그림이다.

• $f(x)=4$$f(x)=4$의 근을 $\alpha ,\beta ,2$$\alpha,~\beta,~2$라 하면, (단, $\alpha <\beta <2$$\alpha<\beta<2$)

  $f(x)=(x-\alpha )(x-\beta {)}^2(x-2)+4$$f(x)=(x-\alpha)(x-\beta)^2(x-2)+4$

  이걸 미분해서 극솟값이 $-60$$-60$이 되도록 한다? 흠.... 조금 계산이 편한 게 뭐가 있을까?

  $\beta -\alpha =2-\beta$$\beta-\alpha =2-\beta$를 이용?

  아...이건 아니지....

  다른 거....다른 거.....

  대칭이니까...

  $j(x)=(x-a)x^2(x+a)+4$$j(x)=(x-a)x^2 (x+a)+4$라고 둔 후, 이 함수를 구한 후에 조건에 맞춰 $x$$x$축으로 이동해주면 그나마 좀 편할 거 같다...

iii. 계산하자.

• $j^{\prime }(x)$$j'(x)$를 구해서 극솟값을 구하자.

  뭐 어차피 $x=0$$x=0$에서 나올 것이고 그 값은 구하는 것에 필요하지 않으니까 대충 생략하면,

  $2x^2=a^2⟶x=\pm \frac{a}{\sqrt{2}}$$2x^2 =a^2\quad \longrightarrow \quad x=\pm \cfrac a{\sqrt 2}$

• $j(\frac{a}{\sqrt{2}})=-60$$j(\cfrac a{\sqrt 2})=-60$을 계산하자.

  편의상 $a>0$$a>0$이라 하면,

  $a=4$$a=4$가 나온다!!! 공학용 계산기를 버렸나.....왜 안 보이....

  $\therefore j(x)=(x-4)x^2(x+4)+4$$\therefore~ j(x)=(x-4)x^2(x+4)+4$

• $x$$x$축으로 얼마나 이동해야 $f(x)$$f(x)$가 될까?

  어랏? 그냥 $x$$x$축으로 $-2$$-2$만큼 이동하면 되네.....

  $\therefore f(x)=(x-2)(x+2{)}^2(x+6)+4$$\therefore~ f(x)=(x-2)(x+2)^2(x+6)+4$

$\therefore f(4)+h(4)=724+5=729$$\therefore~ f(4)+h(4)=724+5=729$

 

이제 슬슬 계산을 공통과목에서도 시키기 시작하네....