2023년 03월 21번

21. 그림과 같이 $1$$1$보다 큰 두 실수 $a,k$$a,~k$에 대하여 직선 $y=k$$y=k$가 두 곡선 $y=2{\log }_{a}x+k,y=a^{x-k}$$y=2\log_ax+k,~y=a^{x-k}$과 만나는 점을 각각 $A,B$$A,~B$라 하고, 직선 $x=k$$x=k$가 두 곡선 $y=2{\log }_{a}x+k,y=a^{x-k}$$y=2\log_ax+k,~y=a^{x-k}$과 만나는 점을 각각 $C,D$$C,~D$라 하자. $\overline{AB}\times \overline{CD}=85$$\overline{ AB}\times \overline{ CD}=85$이고 삼각형 $CAD$$CAD$의 넓이가 $35$$35$일 때, $a+k$$a+k$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• 좌표를 구하자

  $A(1,k),B(k+{\log }_{a}k+k),C(k,2{\log }_{a}k+k),D(k,1)$$A(1,~k),~B(k+\log _ak+k),~C(k,~2\log_ak +k) ,~D(k,~1)$

• 필요로 하는 길이를 구하자.

  $\overline{AB}=k+{\log }_{a}k-1$$\overline{AB}=k+\log_ak-1$

  $\overline{CD}=2{\log }_{a}k+k-1$$\overline{CD}=2\log_ak+k-1$

  $\begin{array}{rl}\mathrm{△}CAD& =\frac{1}{2}\overline{CD}\cdot (\overline{AB}-\overline{BH})\\ & =70\\ & ⋮\\ 15& =\overline{CD}{\log }_{a}k\end{array}$$\begin{aligned} \triangle CAD&=\cfrac 12 \overline{CD}\cdot(\overline{AB}-\overline{BH}) \\ &=70\\ &\vdots \\ 15&=\overline{CD} \log_ak\end{aligned}$

ii.계산하자.

• $(2{\log }_{a}k+k-1)({\log }_{a}k+k-1)=85$$(2\log_ak+k-1)(\log_ak+k-1)=85\quad$ $\overline{AB}\times \overline{CD}=85$$\overline{ AB}\times \overline{CD}=85$

• $(2\log a_k+k-1)(k-1)=70\mathrm{△}CAD=70$$(2\log a_k +k-1)(k-1)=70\quad \triangle CAD=70$

이제 식을 가지고 장난을 치자. 두 식을 빼며나

$(2{\log }_{a}k+k-1){\log }_{a}k=15⟶2{\log }_{a}k+k-1=\frac{15}{{\log }_{a}k}$$(2\log_ak +k-1)\log_ak=15\quad \longrightarrow \quad 2\log_ak+k-1=\cfrac{15}{\log_ak}$

흠흠... ${\log }_{a}k=x,k=y$$\log_ak =x,~k=y$로 치환하면 뭐 각각 풀리는 식이긴 하네...2원 2차연립방정식..더럽다...

아무튼 이 관계식을 두 번째식에 대입하면,

$k-1=\frac{14}{3}{\log }_{a}k$$k-1=\cfrac{14}3\log_ak$

이 식을 첫번째 식에 대입하면 풀린다!

$4({\log }_{a}k{)}^2=9⟶{\log }_{a}k=\pm \frac{3}{2}$$4(\log _a k)^2=9\quad \longrightarrow \quad \log_ak =\pm\cfrac 32$

$k-1=\frac{14}{3}\times (\pm \frac{3}{2})$$k-1=\cfrac {14}3 \times (\pm \cfrac 32)$

$k=8,-6$$k=8,~-6$

$\therefore k=8\mathrm{\&}{\log }_{a}k=\frac{3}{2}$$\therefore~ k=8~\&~\log_ak=\cfrac 32$

${\log }_a{2}^3=\frac{3}{2}⟶{\log }_{a}2=\frac{1}{2}$$\log_a2^3=\cfrac32\quad \longrightarrow \quad \log_a2=\cfrac12$

$\therefore a=4$$\therefore~ a=4$

$\therefore a+k=12$$\therefore~ a+k=12$