2023년 03월 14번

14. 세 양수 $a,b,k$$a,~b,~k$에 대하여 함수 $f(x)$$f(x)$를 $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}ax& (x<k)\\ -x^2+4bx-3b^2& (x\ge k)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} ax&(x<k)\\ -x^2 +4bx-3b^2&(x\ge k)\end{cases}$라 하자. 함수 $f(x)$$f(x)$가 실수 전체의 집합에서 미분가능할 때, <보기>에서 옳은 것을 모두 고르시오.

 

ㄱ. $a=1$$a=1$이면 $f^{\prime }(k)=1$$f'(k)=1$이다.

ㄴ. $k=3$$k=3$이면 $a=-6+4\sqrt{3}$$a=-6+4\sqrt 3$이다.

ㄷ. $f(k)=f^{\prime }(k)$$f(k)=f'(k)$이면 함수 $y=f(x)$$y=f(x)$의 그래프와 $x$$x$축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 $\frac{1}{3}$$\cfrac 13$이다.

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i. 정리

• $f(x)$$f(x)$는 실수 전체에서 미분가능

  • $f(x)$$f(x)$는 $x=k$$x=k$에서 연속

    $ak=-k^2+4bk-3b^2$$ak=-k^2 +4bk-3b^2$

  • $f(x)$$f(x)$는 $x=k$$x=k$에서 미분가능

    $a=-2k+4b$$a=-2k+4b$

• $\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}ax& (x<k)\\ -(x-2b{)}^2+b^2& (x\ge k)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} ax&(x<k)\\ -(x-2b)^2 +b^2&(x\ge k)\end{cases}$

• $\begin{array}{c}{f}^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}a& (x<k)\\ -2x+4b& (x\ge k)\end{array}\end{array}$$f'(x)=\begin{cases} a&(x<k)\\ -2x+4b&(x\ge k)\end{cases}$

ii. 풀자!

ㄱ. $a=1⟶f^{\prime }(k)=1$$a=1\longrightarrow f'(k)=1$

위에서 정리한 연속과 미분가능 조건식을 이용하자.

• $k=-k^2+4bk-3b^2$$k=-k^2 +4bk-3b^2$

• $1=-2k+4b$$1=-2k+4b$

$f^{\prime }(k)=-2k+4b$$f'(k)=-2k+4b$

어랏? 그냥 나오네...

$f^{\prime }(k)=1$$f'(k)=1$

$\therefore$$\therefore~$True

 

ㄴ. $k=3⟶a--6+4\sqrt{3}$$k=3\longrightarrow a--6+4\sqrt 3$

우선 위에서 정리한 식에 대입하자.

• $3a=-9+12b-3b^2$$3a=-9+12b-3b^2\quad$ (연속)

정리하면, $a=-3+4b-b^2$$a=-3+4b-b^2$

• $a=-6+4b$$a=-6+4b\quad$(미분가능)

어랏? $b$$b$를 구해서 $a$$a$를 찾아가야하네...

암튼 풀면 $b=\pm \sqrt{3}$$b=\pm \sqrt 3$이고 $b>0$$b>0$이므로 $a=-6+4\sqrt{3}$$a=-6+4\sqrt 3$

$\therefore$$\therefore~$True

 

ㄷ. $f(k)=f^{\prime }(k)$$f(k)=f'(k)$이면 블라블라

• $f(k)=ak=-k^2+4bk-3b^2$$f(k)=ak=-k^2 +4bk-3b^2$

• $f^{\prime }(k)=a=-2k+4b$$f'(k)=a=-2k+4b$

$ak=a⟶k=1(a>0)$$ak=a\quad \longrightarrow k=1\quad (a>0)$

이를 이용해 정리하면,

$a=-1+4b-3b^2=-2+4b$$a=-1+4b-3b^2 =-2+4b$

$b$$b$를 구하면, $b=\frac{\sqrt{3}}{3}$$b=\cfrac {\sqrt 3}3$ $(b>0)$$\big(b>0\big)$

$\therefore a=-2+\frac{4\sqrt{3}}{3}$$\therefore~ a=-2+\cfrac {4\sqrt 3}3$

$\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}ax& (x<1)\\ -(x-2b{)}^2+b^2& (x\ge 1)\end{array}\end{array}$$f(x)=\begin{cases} ax&(x<1)\\ -(x-2b)^2 +b^2&(x\ge 1)\end{cases}$

아...더럽다....

$-x^2+4\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}x-3\cdot \frac{1}{3}=0$$-x^2 +4\cdot \cfrac {\sqrt 3}3x -3\cdot \cfrac 13=0$을 풀면, $x=\sqrt{3},\frac{\sqrt{3}}{3}$$x=\sqrt3,~\cfrac{\sqrt 3}3$

$1$$1$보다 큰 근이어야 하므로 $x=\sqrt{3}$$x=\sqrt 3$

$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\sqrt{3}}f(x)dx& ={\int }_0^{1}axdx+{\int }_1^{\sqrt{3}}-(x^2+4bx-3b^2)dx\\ & =-1+\frac{2}{3}\sqrt{3}+\frac{4}{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}\\ & =\frac{1}{3}\end{array}$$\begin{aligned}\int_0^{\sqrt 3} f(x)dx &= \int_0^1 ax dx +\int_1^{\sqrt 3} -(x^2 +4bx-3b^2) dx\\ &= -1+\cfrac 23 \sqrt 3 +\cfrac 43 -\cfrac {2\sqrt 3}3\\ &=\cfrac 13 \end{aligned}$

$\therefore$$\therefore~$True