2023학년도 11월 22번

22. 최고차항의 계수가 $1$$1$인 삼차함수 $f(x)$$f(x)$와 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 $g(x)$$g(x)$가 다음 조건을 만족시킬 때, $f(4)$$f(4)$의 값을 구하시오.

(가) 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $f(x)=f(1)+(x-1)f^{\prime }(g(x))$$f(x)=f(1)+(x-1)f'(g(x))$이다.

(나) 함수 $g(x)$$g(x)$의 최솟값은 $\frac{5}{2}$$\cfrac 52$이다.

(다) $f(0)=-3,f(g(1))=6$$f(0)=-3,~f(g(1))=6$

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i. 생각

• $f(x)=x^3+a{x}^2+bx-3$$f(x)=x^3 +ax^2 +bx -3$

• $f(x)=f^{\prime }(g(x))(x-1)+f(1)$$f(x)=f'(g(x))(x-1)+f(1)$

  어랏? 조금 고쳐쓰니 마치.....으응?

  $f^{\prime }(g(x))=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$$f'(g(x))=\cfrac {f(x)-f(1)}{x-1}$

  • $y=f(x)$$y=f(x)$ 위의 임의의 점과 $(1,f(1))$$(1,~f(1))$의 기울기??
  • $t=g(x)$$t=g(x)$라 하면, 같은 기울기를 가지는 $x$$x$ 좌표값이고 $t\ge \frac{5}{2}>1$$t\ge \cfrac 52>1$라고 봐야하나?

  아무래도 이것 그려봐야겠어?

ii. 그래프

• 우선 일반적인 삼차함수의 개형을 그리고 $(1,f(1))$$(1,~f(1))$의 위치를....나누어 보자..?

  

  • $(1,f(1))$$(1,~f(1))$이 $I.$$I.$의 영역에 있을 때,

    같은 기울기를 가지는 $x$$x$좌표 중 큰 값으로 $g(x)$$g(x)$의 값을 정의하면 가능하다.

  • $(1,f(1))$$(1,~f(1))$이 $II.$$II.$의 영역에 있을 떄,

    슥삭슥삭 그어보면 가능하다

  • $(1,f(1))$$(1,~f(1))$이 $III.IV.V$$III. IV. V$의 영역에 있을 때,

    $III.$$III.$ 일 때,

    변곡점의 $x$$x$좌표보다 작을 때는 가능한데... 크면...불가능한 거 같은데?

    뭐 나머지 두 영역도 불가능하고...

• 그럼 우선 그래프로 이해를 돕기 편하게 하기 위해 임의의 점을 찍고 접근하면 되겠다...(진작에 그럴 걸 그랬나..)

  이해를 돕기 위해 제일 편하게 대충 그리자!

  

  점 $(1,f(1)),(\frac{5}{2},f(\frac{5}{2}))$$(1,~f(1)),~(\cfrac 52,~f(\cfrac 52))$를 잇는 직선은 $x$$x$ 축에 평행할 수도 있고, 아닐 수도 있다!!!! 그냥 편의상!!! 이해하기 편하기 위해 그린 것 뿐이다. 편의상 이 직선을 $y_1=mx+n$$y_1=mx+n$이라 하자.

   

  아무튼 이런 위치를 만족하면 된다. 어? 그러면 $f(x)$$f(x)$를 표현할 수 있다!

   

  $f(x)=y_1$$f(x)=y_1$의 근은 $1,\frac{5}{2}$$1,~\cfrac 52$이고 $\frac{5}{2}$$\cfrac 52$는 중근이다.

  $f(x)-y_1=(x-1)(x-\frac{5}{2}{)}^2$$f(x)-y_1=(x-1)(x-\cfrac 52)^2$

  $\therefore f(x)=(x-1)(x-\frac{5}{2}{)}^2+mx+n$$\therefore~ f(x)=(x-1)(x-\cfrac 52)^2 +mx+n$

  바로 $f(0)=-3$$f(0)=-3$을 이용하자.

  그러면, $n=\frac{13}{4}$$n=\cfrac {13}4$ 당연히 계산 생략!

  이제 미지수는 $m$$m$ 하나이고, 활용할 수 있는 조건은 $f(g(1))=6$$f(g(1))=6$이 남았다.

• $f(g(1))=6$$f(g(1))=6$을 이용하자.

  어랏....이용이....흠.....

  $f^{\prime }(g(x))=\frac{f(x)-f(1)}{x-1}$$f'(g(x))=\cfrac {f(x)-f(1)}{x-1}$

  흠...연속함수끼리의 합성이니까.... 뭐 비스무리하게라도 $g(1)$$g(1)$을 끄집어내기 위해서 극한을 보내야지 싶다....

  뭐 이리 일을 많이 시키지...?

  $f^{\prime }(g(1))=\underset{x\to 1}{lim}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=f^{\prime }(1)$$f'(g(1))=\lim\limits_{x\to 1}\cfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=f'(1)$

  어???

   

  어랏???

  $g(1)\ge \frac{5}{2}$$g(1)\ge \cfrac 52$일 테니까 당연히 $g(1)\ne 1$$g(1)\neq 1$이다.....

  아.. 접선의 기울기가 같은 $x$$x$ 좌표를 찾으면 되는구나

• 계산하자... ㅜ.ㅜ

  $f^{\prime }(x)=(x-\frac{5}{2}{)}^2+2(x-1)(x-\frac{5}{2})+m$$f'(x)=(x-\cfrac 52)^2 +2(x-1)(x-\cfrac 52)+m$

  $f^{\prime }(1)=\frac{9}{4}+m$$f'(1)=\cfrac 94+m$

  그리고 이 기울기와 같은 값을 같는 $x$$x$의 값을 찾는 것이니까

  $f^{\prime }(t)=f^{\prime }(1)$$f'(t)=f'(1)$을 풀면 되네~

   

  당연히 계산생략하고 풀면, $t=1,3$$t=1,~3$이고, $g(1)=3$$g(1)=3$임을 알 수 있다.

• $f(g(1))=f(3)=6$$f(g(1))=f(3)=6$

  대입하여 $m$$m$을 구하면, $m=\frac{3}{4}$$m=\cfrac 34$

$\therefore f(x)=(x-1)(x-\frac{5}{2}{)}^2+\frac{3}{4}x+\frac{13}{4}$$\therefore~ f(x)=(x-1)(x-\cfrac 52)^2 +\cfrac 34 x +\cfrac {13}4$

$\therefore f(4)=13$$\therefore~ f(4)=13$

 

미적분을 택하지 않았다면....힘들었겠다...?

미적분을 택했고, 과거 기출문제를 풀었으면 이와 비슷한 문제가 있었는데?????

결국 미적분 선택안하면 X먹어라 인가...;;;;