2023학년도 11월 21번

21. 자연수 $n$$n$에 대하여 함수 $f(x)$$f(x)$를

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}|3^{x+2}-n|& (x<0)\\ |{\log }_2(x+4)-n|& (x\ge 0)\end{array}$$

이라 하자. 실수 $t$$t$에 대하여 $x$$x$에 대한 방정식 $f(x)=t$$f(x)=t$의 소로 다른 실근의 개수를 $g(t)$$g(t)$라 할 때, 함수 $g(t)$$g(t)$의 최댓값이 $4$$4$가 되도록 하는 모든 자연수 $n$$n$의 값의 합을 구하시오.

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i. 생각

• 절댓값에..지수와 로그네?
• 우선 생각없이 $h(x)=\{\begin{array}{ll}{3}^{x+2}& (x<0)\\ {\log }_2(x+4)& (x\ge 0)\end{array}$$h(x)=\begin{cases} 3^{x+2} &(x<0)\\ \log_2(x+4)&(x\ge 0)\end{cases}$를 그린 후에 $y=n$$y=n$을 긋고 절댓값을 처리하면서 생각하면 되겠다?

ii. 그래프를 그리자.

가장 편하게 우선 $n=2$$n=2$일 때를 생각하자.

$x<-2$$x<-2$인 구간에서 점근선은 $y=4$$y=4$가 된다.

그리고 $g(t)$$g(t)$의 최댓값은 $3$$3$이다. 편의상 그냥 근의 개수만 중요하니까, $y=h(x)$$y=h(x)$을 그리고 $y=n$$y=n$에 대하여 절댓값을 씌워버리자.. (그래야 매번 다시 그리지 않고 그냥 겹쳐 그리면 될테니까.

 

iii. $n$$n$값에 따라서 어떻게 그릴까?

$n=2$$n=2$일 때에 중요한 사항은 $x<0$$x<0$일 때의 점근선을 중요하게 봐야한다!!

• $n=3$$n=3$일 때,

  

  $g(t)$$g(t)$의 최댓값은 $4$$4$이다.

• $n\ge 3$$n\ge 3$이면 $g(t)$$g(t)$의 최댓값이 $4$$4$인 것을 알 수 있다. 그럼 $n$$n$의 최댓값은 어떻게 될까?

  이해를 돕기 위해 $n=4$$n=4$일 때도 그려보면 좋겠지만..귀찮다....

  여기서 중요한 것은 오직 실근의 개수가 최대 $4$$4$가 가능한 경우를 찾아내면 된다.

  그린 그래프를 뚫어져라 쳐다보면.....

   

  $y=n$$y=n$에 대하여 절댓값을 씌울 때, $n\ge 3$$n\ge 3$이면 $x>0$$x>0$인 구간에서 $2$$2$개의 근이 나오는 것을 알 수 있다.

  그리고 $x<0$$x<0$일 때를 생각하면, $n$$n$의 값이 $\underset{x\to 0-}{lim}h(x)=9$$\lim\limits_{x\to 0-} h(x)=9$일 때보다 작으면 된다!

  $n=9$$n=9$이면, $x<0$$x<0$에서 근이 $1$$1$개만 나온다.

  

  $x$$x$축으로 $100$$100$배 넘게 축소한 거라...마치 상수항처럼 보이긴 하지만...

  (직접 그려보자!!!! 그럼 바로 알 수 있다!)

$\therefore n=3,4,5,\cdots 8$$\therefore~ n=3,~4,~5,~\cdots~8$

$\therefore \frac{3+8}{2}\times 6=33$$\therefore~ \cfrac {3+8}2 \times 6=33$