2023년 05월 20번

20. 등차수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$$n$항까지의 합을 $S_n$$S_n$이라 하자. $S_n$$S_n$이 다음 조건을 만족시킬 때, $a_{13}$$a_{13}$의 값을 구하시오.

(가) $S_n$$S_n$은 $n=7,n=8$$n=7,~n=8$에서 최솟값을 갖는다.

(나) $|S_m|=|S_{2m}|=162$$|S_m|=|S_{2m}|=162$인 자연수 $m(m>8)$$m(m>8)$이 존재한다.

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i. 정리

• $a_n=a_1+(n-1)d$$a_n=a_1+(n-1)d$

• $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$S_n=\cfrac{n(a_1+a_n)}2$

어? 수열로 접근하기 보다는 그냥 함수로 접근하는 게 편하겠는데?

조건 (가)를 봐도 그렇고 조건 (나)를 봐도 그렇고.

• $a_n$$a_n$은 일차함수 (정의역은 자연수!)

• $S_n$$S_n$은 $2$$2$차함수 (정의역은 자연수!)

ii. 생각

• $n=7,8$$n=7,~8$에서 최솟값을 갖는다?

  $S_n=a(n-\frac{15}{2}{)}^2+\alpha ($$S_n=a(n-\frac {15}2)^2+\alpha\quad ($단, $a>0)$$a>0)$

• 조건 (나)를 이용하자

  

  $m>8$$m>8$인 조건에 위배!!!

  그러면 다음과 같은 형태면 되겠네?

  

• 아 그리고 $S_7=S_8$$S_7=S_8$이므로 $a_8=0$$a_8=0$

iii. 계산하자.

• $a_n=dn+\alpha$$a_n=dn+\alpha$라 하면, $a_8=0$$a_8=0$을 이용하면,

  $a_n=d(n-8)$$a_n=d(n-8)$

  $\therefore S_n=\frac{nd(n-15)}{2}$$\therefore~ S_n=\cfrac {nd(n-15)}2$

• $S_m=-162,S_{2m}=162$$S_m=-162,~S_{2m}=162$를 이용하면,

  $-\frac{d}{2}m(m-15)=\frac{d}{2}2m(2m-15)$$-\cfrac d2 m(m-15)=\cfrac d2 2m (2m-15)$

  방정식을 풀면, $m^2-9m=0$$m^2 -9m=0$

  $m>8$$m>8$이므로 $m=9$$m=9$

• $S_9=-162$$S_9=-162$를 이용하면, $d=6$$d=6$

$\therefore a_n=6(n-8)$$\therefore~ a_n=6(n-8)$

$\therefore a_{13}=6(13-8)=30$$\therefore~ a_{13}=6(13-8)=30$