2021년 07년 기하 30번

30. 평면 위에

$$\overline{OA}=2+2\sqrt{3},\overline{AB}=4,\mathrm{\angle }COA=\frac{\pi }{3},\mathrm{\angle }A=\mathrm{\angle }B=\frac{\pi }{2}$$

를 만족시키는 사다리꼴 $OABC$$OABC$가 있다. 선분 $AB$$AB$를 지름으로 하는 원 위의 점 $P$$P$에 대하여 $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OP}$$\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OP}$의 값이 최대가 되도록 하는 점 $P$$P$를 $Q$$Q$라 할 때, 직선 $OQ$$OQ$가 원과 만나는 점 중 $Q$$Q$가 아닌 점을 $D$$D$라 하자. 원 위의 점 $R$$R$에 대하여 $\overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{AR}$$\overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{AR}$의 최댓값을 $M$$M$이라 할 때, $M^2$$M^2$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OP}$$\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OP}$ max $P\to Q$$P\rightarrow Q$
• $\overline{OQ}$$\overline{OQ}$와 원의 교점 $D$$D$
• $\overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{AR}$$\overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{AR}$ max=?

ii. $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OP}$$\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OP}$의 최댓값은 언제?

• 벡터를 나누도록 하자. 그런데 당연히 $\overrightarrow{OP}$$\overrightarrow{OP}$를 나누고 싶지 않은가? 원을 막 활용하고 싶잖아.
• 원의 중심을 $I$$I$라 하자.

$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IP}$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IP}$

$\begin{array}{rl}\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OP}& =\overrightarrow{OC}\cdot (\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IP})\\ \\ & =\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OI}+\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{IP}\end{array}$$\begin{aligned} \overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OP} &= \overrightarrow{OC}\cdot \big(\overrightarrow{OI}+\overrightarrow{IP}\big) \\ \\ &= \overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OI} +\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{IP} \end{aligned}$

그런데, $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OI}$$\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OI}$의 값은 고정이다. 그러면, $\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{IP}$$\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{IP}$가 최대일 때, $P$$P$의 위치가 곧 $Q$$Q$이다.

당연히, $\overrightarrow{OC}//\overrightarrow{IP}$$\overrightarrow{OC}\mathrel {/\!/}\overrightarrow{IP}$일 때이다.

보조선을 긋고, $\overline{OA}$$\overline{OA}$와의 교점을 $E$$E$라 하자. ($\overline{OC}//\overline{QE}$$\overline{OC}\mathrel {/\!/}\overline{QE}$)

iii. $\overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{AR}$$\overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{AR}$의 최댓값을 찾자.

• $\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IR}$$\overrightarrow{AR}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IR}$

그러면,

$\begin{array}{rl}\overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{AR}& =\overrightarrow{DQ}\cdot (\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IR})\\ \\ & =\overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{IR}\end{array}$$\begin{aligned} \overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{AR} &= \overrightarrow{DQ}\cdot \big(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IR}\big) \\ \\ &= \overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{AI} +\overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{IR} \end{aligned}$

$R$$R$은 $\overrightarrow{DQ}//\overrightarrow{IR}$$\overrightarrow{ DQ}\mathrel {/\!/}\overrightarrow{IR}$인 것은 분명하다.

iv. $\overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{AI}$$\overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{AI}$를 구하자.

$\mathrm{\angle }COA=\mathrm{\angle }QEA=\frac{\pi }{3}$$\angle COA=\angle QEA=\cfrac{\pi}3$

막혔네? 그럼 길이들을 구해보자.

• $\overline{IA}=2⟶\overline{EA}=\frac{2}{3}\sqrt{3},\overline{IE}=\frac{4}{3}\sqrt{3}$$\overline{IA}=2\quad\longrightarrow\quad \overline{EA}=\cfrac 23 \sqrt 3,~\overline{IE}=\cfrac 43\sqrt 3$

• $\overline{OH}=\frac{4}{3}\sqrt{3},\overline{OC}=\frac{8}{3}\sqrt{3}$$\overline{OH}=\cfrac 43\sqrt 3,~ \overline{OC}=\cfrac 83 \sqrt 3$

  어? $\overline{OH}=\overline{IE}$$\overline{OH}=\overline{IE}$

  어랏? $\overline{HE}=\overline{IQ}=2$$\overline{HE}=\overline{IQ}=2$

  $\therefore \overline{OE}=\overline{EQ}$$\therefore~\overline{OE}=\overline{EQ}$

  $\mathrm{△}EOQ$$\triangle EOQ$는 이등변 삼각형이다!

  $\mathrm{\angle }IEA=\frac{\pi }{3}⟶\mathrm{\angle }OQI=\frac{\pi }{6}$$\angle IEA=\cfrac {\pi}3 \quad\longrightarrow\quad \angle OQI=\cfrac {\pi}6$

  이를 이용하면 $\overline{DQ}=2\sqrt{3}$$\overline{DQ}=2\sqrt 3$ (원의 현!)

  $\overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{IR}=2\sqrt{3}\times 2=4\sqrt{3}$$\overrightarrow{DQ}\cdot\overrightarrow{IR}=2\sqrt 3 \times 2 =4\sqrt 3$

어...막혔네? 그럼 보조선을 그어보자.

• $\mathrm{\angle }DIE=2\times \frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}(\because \mathrm{\angle }DIQ$$\angle DIE=2\times \cfrac {\pi}6 =\cfrac {\pi}3\quad (\because~\angle DIQ$의 외각$)$$)$
• $\mathrm{\angle }EIA=\frac{\pi }{6}$$\angle EIA=\cfrac {\pi}6$

헐...$\mathrm{\angle }DIA=\frac{\pi }{2}$$\angle DIA=\cfrac{\pi}2$

$\therefore \overrightarrow{DQ}$$\therefore~\overrightarrow{DQ}$와 $\overrightarrow{AI}$$\overrightarrow{AI}$의 사잇각은 $\frac{\pi }{3}$$\cfrac {\pi}3$

$\therefore \overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{AI}=|\overrightarrow{DQ}|\times |\overrightarrow{AI}|\cos \frac{\pi }{3}=2\sqrt{3}\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=2\sqrt{3}$$\therefore~\overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{AI}=|\overrightarrow{DQ}|\times |\overrightarrow{AI}|\cos \cfrac{\pi}3=2\sqrt 3 \cdot 2 \cdot \cfrac 12 =2\sqrt 3$

v. 계산

$\overrightarrow{DQ}\cdot \overrightarrow{QR}$$\overrightarrow{ DQ}\cdot \overrightarrow{QR}$의 최댓값은 $4\sqrt{3}+2\sqrt{3}=6\sqrt{3}$$4\sqrt 3+2\sqrt 3=6\sqrt 3$

$\therefore M^2=108$$\therefore~M^2 = 108$