2022학년도 6월 기하 29번

29. 포물선 $y^2=8x$$y^2 =8x$와 직선 $y=2x-4$$y=2x-4$가 만나는 점 중 제$1$$1$사분면 위에 있는 점을 $A$$A$라 하자. 양수 $a$$a$에 대하여 포물선 $(y-2a{)}^2=8(x-a)$$(y-2a)^2 =8(x-a)$가 점 $A$$A$를 지날 때, 직선 $y=2x-4$$y=2x-4$와 포물선 $(y-2a{)}^2=8(x-a)$$(y-2a)^2 =8(x-a)$가 만나는 점 중 $A$$A$가 아닌 점을 $B$$B$라 하자. 두 점 $A,B$$A,~B$에서 직선 $x=-2$$x=-2$에 내린 수선의 발을 각각 $C,D$$C,~D$라 할 때, $\overline{AC}+\overline{BD}-\overline{AB}=k$$\overline{AC}+\overline{BD}-\overline{AB}=k$이다. $k^2$$k^2$의 값을 구하시오.

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i. 정리

우선 그림에 표시를 하자.

• $F,F^{\prime }$$F,~F'$은 각 포물선의 초점
• $(y-2a{)}^2=8(x-a)$$(y-2a)^2 =8(x-a)$의 준선과 $\overline{DB}$$\overline{DB}$의 교점을 $D^{\prime }$$D'$
• $y^2=8x$$y^2 =8x$와 $y=2x-4$$y=2x-4$의 교점 중 $A$$A$가 아닌 점을 $E$$E$

ii. 포물선의 정의를 이용하자.

$\circ \overline{AC}=\overline{AF}=\overline{B{F}^{\prime }}$$\circ~~\overline{AC}=\overline{AF}=\overline{BF'}$

$\begin{array}{rl}\circ \overline{BD}& =\overline{D{D}^{\prime }}+\overline{DB}\\ \\ & =\overline{D{D}^{\prime }}+\overline{B{F}^{\prime }}\\ \\ & =\overline{D{D}^{\prime }}+\overline{AF}\end{array}$$\begin{aligned} \circ~~\overline{BD}&=\overline{DD'}+\overline{DB} \\ \\ &= \overline{DD'}+\overline{BF'} \\ \\ &= \overline{DD'}+ \overline{AF} \end{aligned}$

$\circ \overline{AB}=\overline{AF}+\overline{FE}$$\circ~~\overline{AB}=\overline{AF}+\overline{FE}$

이를 이용하면,

$\begin{array}{rl}\circ \overline{AC}+\overline{BD}-\overline{AB}& =\overline{AF}+\overline{D{D}^{\prime }}+\overline{AF}-\overline{AF}-\overline{EF}\\ \\ & =\overline{AF}+\overline{D{D}^{\prime }}-\overline{EF}\\ \\ & =\overline{AC}+\overline{D{D}^{\prime }}-\overline{EF}\end{array}$$\begin{aligned} \circ~~\overline{AC}+\overline{BD}-\overline{AB}&= \overline{AF}+\overline{DD'}+\overline{AF}-\overline{AF}-\overline{EF} \\ \\ &= \overline{AF}+\overline{DD'}-\overline{EF} \\ \\ &= \overline{AC}+\overline{DD'}-\overline{EF} \end{aligned}$

$\overline{AC}$$\overline{AC}$와 $(y-2a{)}^2=8(x-a)$$(y-2a)^2 =8(x-a)$의 준선의 교점을 $C^{\prime }$$C'$라 하면,

$\begin{array}{rl}\circ \overline{AC}+\overline{D{D}^{\prime }}-\overline{EF}& =\overline{AC}+\overline{D{D}^{\prime }}-\overline{A{C}^{\prime }}\\ \\ & =(\overline{AC}-\overline{A{C}^{\prime }})+\overline{D{D}^{\prime }}\\ \\ & =\overline{C{C}^{\prime }}+\overline{D{D}^{\prime }}\\ \\ & =2\overline{D{D}^{\prime }}\end{array}$$\begin{aligned} \circ ~~ \overline{AC}+\overline{DD'} -\overline{EF} &= \overline{AC}+\overline{DD'} -\overline{AC'} \\ \\ &= \big( \overline{AC}-\overline{AC'} \big)+\overline{DD'} \\ \\ &=\overline{CC'}+\overline{DD'} \\ \\ &= 2\overline{DD'}\end{aligned}$

어랏?

iii. $\overline{D{D}^{\prime }}$$\overline{DD'}$을 알아보자.

두 포물선의 준선끼리의 거리니까

$\overline{D{D}^{\prime }}=(-2+a)-(-2)=a$$\overline{DD'}=(-2+a)-(-2)=a$

오! $k=2a$$k=2a$다! 즉, $4a^2$$4a^2$을 구하면 된다!

iv. $a$$a$를 구하자.

그런데 그림을 자세히 보면,

$\mathrm{△}AEG\equiv \mathrm{△}BAH(RHS)$$\triangle AEG \equiv \triangle BAH \quad (RHS)$

평행이동이잖아!

어? 그럼??? $\overline{EG}=\overline{AH}=a$$\overline{EG}=\overline{AH}=a$다!

어? 그럼 다 풀었네?

$\{\begin{array}{l}{y}^2=8x\\ \\ y=2x-4\end{array}$$\begin{cases} y^2=8x\\ \\ y=2x-4\end{cases}$의 교점의 $x$$x$ 좌표를 각각 $\alpha ,\beta$$\alpha,~\beta$라 하면, $\overline{EG}=|\alpha -\beta |$$\overline{EG}=|\alpha-\beta|$

v. 계산하자.

$y^2=8x=(2x-4{)}^2$$y^2=8x=(2x-4)^2$

정리하면,

$x^2-6x+4=0$$x^2 -6x +4=0$

$\alpha +\beta =6,\alpha \beta =4$$\alpha+\beta =6,~\alpha \beta =4$

$(\alpha -\beta {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta$$(\alpha -\beta )^2 =(\alpha+\beta)^2 -4\alpha\beta$

$\therefore a^2=20$$\therefore~a^2 =20$

$\therefore k=4a^2=80$$\therefore~k=4a^2 =80$