2022학년도 06월 기하 30번

30. 좌표평면 위의 네 점 $A(2,0),B(0,2),C(-2,0),D(0,-2)$$A(2,~0),~B(0,~2),~C(-2,~0),~D(0,~-2)$를 꼭짓점으로 하는 정사각형 $ABCD$$ABCD$의 네 변 위의 두 점 $P,Q$$P,~Q$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $(\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{AB})(\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{AD})=0$$\big(\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{AB}\big)\big(\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{AD}\big)=0$

(나) $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP}\ge -2$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OP}\ge -2$이고 $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OP}\ge 0$$\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{ OP}\ge 0$ 이다.

(다) $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OQ}\ge -2$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OQ}\ge -2$이고 $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OQ}\le 0$$\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OQ}\le 0$ 이다.

점 $R(4,4)$$R(4,~4)$에 대하여 $\overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}$$\overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}$의 최댓값을 $M$$M$, 최솟값을 $m$$m$이라 할 때, $M+m$$M+m$의 값을 구하시오. (단, $O$$O$는 원점이다.)

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i. 정리

• 역시나 처음으로 할 일은 눈으로 알아볼 수 있게 그리자!

  

• 조건 (가)를 살펴보면,

  • $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{AB}=0⟶\overrightarrow{PQ}//\overrightarrow{AD}$$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{AB}=0\quad\longrightarrow\quad \overrightarrow{PQ}\mathrel {/\!/}\overrightarrow{AD}$

  • $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{AD}=0⟶\overrightarrow{PQ}//\overrightarrow{AB}$$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{AD}=0\quad \longrightarrow\quad \overrightarrow{PQ}\mathrel {/\!/}\overrightarrow{AB}$

    오호.. $\overrightarrow{PQ}$$\overrightarrow{PQ}$의 방향을 알려주는구나.

• 조건 (나)를 살펴보자.

  • 벡터의 내적의 개념(?)을 이용하면, $\overrightarrow{OA}\cdot \overline{OP}\ge -2$$\overrightarrow{OA}\cdot \overline{OP}\ge -2$이기 위해서는

    

  • $\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OP}\ge 0$$\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OP}\ge 0$이기 위해서는

    

  • 이 조건의 교집합이 곧 점 $P$$P$의 위치이다.

• 조건 (다)도 같은 방법으로 해서 $P,Q$$P,~Q$가 가능한 위치를 구하면,

  

  $P$$P$가 파란색

  $Q$$Q$가 빨간색

ii. $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{AB}=0$$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{AB}=0$ 인 경우

• $\overrightarrow{PQ}$$\overrightarrow{PQ}$ 와 $\overrightarrow{AD}$$\overrightarrow{AD}$가 평행이다.
• 최댓값 : $P$$P$는 $\overline{OF}$$\overline{OF}$와 $\overline{AB}$$\overline{AB}$의 교점이고, $Q=F$$Q=F$일 때
• 최솟값: $P=A,Q=D$$P=A,~Q=D$일 때

$\therefore 30\le \overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}\le 32$$\therefore~30\le \overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ} \le 32$

iii. $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{AD}=0$$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{AD}=0$일 때,

• $\overrightarrow{PQ}$$\overrightarrow{PQ}$와 $\overrightarrow{AB}$$\overrightarrow{AB}$가 평행이다.
• 최댓값 : $P(-1,1)$$P(-1,~1)$, $Q(1,-1)$$Q(1,~-1)$
• 최솟값: $P=B,Q=A$$P=B,~Q=A$

$\therefore 16\le \overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ}\le 32$$\therefore~16\le \overrightarrow{RP}\cdot \overrightarrow{RQ} \le 32$

iv. 계산

$M=32$$M=32$

$m=16$$m=16$

$\therefore M+m=48$$\therefore~M+m=48$