2021년 03월 기하 29번

29. 두 초점이 $F_1(c,0),F_2(-c,0)(c>0)$$F_1(c,~0),~F_2(-c,~0)~(c>0)$인 타원이 $x$$x$ 축과 두 점 $A(3,0),B(-3,0)$$A(3,~0),~B(-3,~0)$에서만 만난다. 선분 $BO$$BO$가 주축이고 점 $F_1$$F_1$이 한 초점인 쌍곡선의 초점 중 $F_1$$F_1$ 이 아닌 점을 $F_3$$F_3$라 하자. 쌍곡선이 타원과 제$1$$1$사분면에서 만나는 점을 $P$$P$라 할 때, 삼각형 $P{F}_3{F}_2$$PF_3F_2$의 둘레의 길이를 구하시오. (단, $O$$O$는 원점이다.)

---

i. 정리

$\overline{F_{1}P}+\overline{F_{2}P}=6$$\overline{F_1P}+\overline{F_2P}=6$

$\overline{F_{3}P}-\overline{F_{1}P}=\text{Contant}$$\overline{F_3P} -\overline{F_1P} =\text{Contant}$

$\to \overline{F_2{F}_3}+\overline{F_{2}P}+\overline{F_{3}P}=?$$\rightarrow~\overline{F_2F_3}+\overline{F_2P}+\overline{F_3P}=?$

$\leftarrow \overline{F_{3}P}=\text{Contant }+\overline{F_{1}P}$$\leftarrow~\overline{F_3 P} =\text{Contant } +\overline{F_1P}$

$\therefore \overline{F_2{F}_3}+\overline{F_{2}P}+\overline{F_{1}P}+\text{Contant}=?$$\therefore~\overline{F_2F_3} +\overline{F_2P}+\overline{F_1P}+\text{Contant}=?$

ii. 쌍곡선

• 점 $B,O$$B,~O$ 는 쌍곡선의 꼭짓점

$\to$$\rightarrow~$쌍곡선의 거리의 차 : $3$$3$

$\therefore \text{Contanat}=3$$\therefore~\text{Contanat}=3$

• 쌍곡선의 대칭축 : $x=-\frac{3}{2}$$x=-\cfrac 32$

  $\overline{B{F}_2}=3-c$$\overline{BF_2}=3-c$

  $\overline{B{F}_3}=c(\because \overline{O{F}_1}=\overline{B{F}_3})$$\overline{BF_3 }=c\quad(\because~\overline{OF_1}=\overline{BF_3})$

  $\therefore \overline{F_2{F}_3}=3$$\therefore~\overline{F_2F_3}=3$

iii. 답은?

$3+6+3=12$$3+6+3=12$

 

잔소리

미적분과 기하는 기본 정의와 개념을 정확히 알고 자유자재로 다룰 수 있어야 한다.