2025학년도 수능 22번

22. 모든 항이 정수이고 다음 조건을 만족시키는 모든 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$에 대하여 $|a_1|$$|a_1|$의 값의 합을 구하시오.

(가) 모든 자연수 $n$$n$에 대하여 $\begin{array}{c}{a}_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{a}_n-3& (|a_n|\text{이 홀수인 경우})\\ \\ \frac{1}{2}{a}_n& (a_n=0\text{ 또는 }|a_n|\text{이 짝수인 경우})\end{array}\end{array}$$a_{n+1}=\begin{cases}a_n-3&(|a_n|\text{이 홀수인 경우})\\ \\\cfrac 12a_n &(a_n=0\text{ 또는 } |a_n|\text{이 짝수인 경우})\end{cases}$이다.

(나) $|a_m|=|a_{m+2}|$$|a_m|=|a_{m+2}|$인 자연수 $m$$m$의 최솟값은 $3$$3$이다.

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i. 시발

• 시작 기준을 어디로 삼아야 할까?

  $a_5?$$a_5?$ 아니면 $a_3?$$a_3?$

  아무래도 조건식에 따라 계산을 해야하니 $a_3$$a_3$을 기준을 하는 것이 편할 것이ㅏ.

ii. 시발2

• $|a_3|$$|a_3|$이 홀수일 때

  $a_4=a_3-3$$a_4=a_3-3$

  $\begin{array}{c}{a}_5=\{\begin{array}{l}{a}_4-3=a_3-6\\ \frac{1}{2}{a}_4=\frac{1}{2}(a_3-3)\end{array}\end{array}$$a_5=\begin{cases}a_4-3=a_3-6\\ \cfrac 12a_4=\cfrac 12(a_3-3) \end{cases}$

  • $|a_3|=|a_3-6|$$|a_3|=|a_3-6|$을 풀면,

    그런데, 홀수에서 홀수 빼면...짝수잖아?

    해볼 필요가 없다!!!!

  • $|a_3|=|\frac{1}{2}(a_3-3)|$$|a_3|=|\cfrac 12(a_3-3)|$을 풀면,

    계산 생략하면, $a_3=-3,1$$a_3=-3,~1$

    • $a_3=-3$$a_3=-3$일 때,

      $a_1$$a_1$	$a_2$$a_2$	$a_3$$a_3$	$a_4$$a_4$	$a_5$$a_5$
      		$-3$$-3$	$-6$$-6$	$-3$$-3$

      $a_2$$a_2$가 홀수인 경우는 존재하지 않는다.

      $a_2$$a_2$가 짝수인 경우는 $a_2=-6$$a_2=-6$인데 이는 조건 (나)에 위배된다.

    • $a_3=1$$a_3=1$일 때,

      $a_1$$a_1$	$a_2$$a_2$	$a_3$$a_3$	$a_4$$a_4$	$a_5$$a_5$
      		$1$$1$	$-2$$-2$	$-1$$-1$

      $a_2$$a_2$가 짝수면 $a_2=2$$a_2=2$인데 조건 (나)에 위배된다.

      $a_2$$a_2$가 홀수인 값은 존재하지 않는다.

iii. 시발3

• $|a_3|$$|a_3|$이 짝수일 때,

  $a_4=\frac{1}{2}{a}_3$$a_4=\cfrac 12 a_3$

  $\begin{array}{c}{a}_5=\{\begin{array}{l}{a}_4-3=\frac{1}{2}{a}_3-3\\ \frac{1}{2}{a}_4=\frac{1}{4}{a}_3\end{array}\end{array}$$a_5=\begin{cases} a_4-3=\cfrac 12a_3-3\\ \cfrac 12 a_4=\cfrac 14a_3\end{cases}$

  • $|\frac{1}{2}{a}_3-3|=|a_3|$$|\cfrac 12a_3-3|=|a_3|$을 풀면,

    $a_3=-6,2$$a_3=-6,~2$

    아놔.....조건에 위배되는 게 없네...

    • $a_3=-6$$a_3=-6$일 때,

      $a_1$$a_1$	$a_2$$a_2$	$a_3$$a_3$	$a_4$$a_4$	$a_5$$a_5$
      		$-6$$-6$	$-3$$-3$	$-6$$-6$

      • $a_2$$a_2$가 홀수 일 때, $a_2=-3$$a_2=-3$이지만, 조건 (나)에 위배된다.

      • $a_2$$a_2$가 짝수일 때, $a_2=-12$$a_2=-12$

        $a_1$$a_1$이 홀수이면, $a_1=-9$$a_1=-9$

        $a_2$$a_2$가 짝수이면, $a_1=24$$a_1=24$

    • $a_3=2$$a_3=2$일 때,

      $a_1$$a_1$	$a_2$$a_2$	$a_3$$a_3$	$a_4$$a_4$	$a_5$$a_5$
      		$2$$2$	$1$$1$	$-2$$-2$

      • $a_2$$a_2$가 홀수이면, $a_2=5$$a_2=5$ 아......조건에 만족한다.

        $a_1$$a_1$이 홀수이면 $a_1=8$$a_1=8$

        $a_1$$a_1$이 짝수이면 $a_1=10$$a_1=10$

      • $a_2$$a_2$가 짝수이면 $a_2=4$$a_2=4$.....또 조건에 만족하네..

        $a_1$$a_1$이 홀수이면 $a_1=7$$a_1=7$

        $a_1$$a_1$이 짝수이면 $a_1=8$$a_1=8$

  • $|a_3|=|\frac{1}{4}{a}_3|$$|a_3|=|\cfrac 14a_3|$을 풀면 $a_3=0$$a_3=0$

    $a_1$$a_1$	$a_2$$a_2$	$a_3$$a_3$	$a_4$$a_4$	$a_5$$a_5$
    		$0$$0$	$0$$0$	$0$$0$

    $a_2$$a_2$는 홀수만 가능하다.

    $\therefore a_2=3$$\therefore~ a_2=3$

    $a_1$$a_1$이 홀수는 불가능하다. ($\because a_1=6$$\because~a_1=6$)

    $a_1$$a_1$이 짝수이면 $a_1=6$$a_1=6$

$\therefore$$\therefore~$가능한 $a_1$$a_1$은 $6,7,8,10,-9,24$$6,~7,~8,~10,~-9,~24$

$\therefore$$\therefore~$모든 $|a_1|$$|a_1|$의 값의 합은 $6+7+8+10+9+24=64$$6+7+8+10+9+24=64$

시발.