2025학년도 수능 21번

21. 함수 $f(x)=x^3+a{x}^2+bx+4$$f(x)=x^3 +ax^2 +bx+4$가 다음 조건을 만족시키도록 하는 두 정수 $a,b$$a,~b$에 대하여 $f(1)$$f(1)$의 최댓값을 구하시오.

모든 실수 $\alpha$$\alpha$에 대하여 $\underset{x\to \alpha }{lim}\frac{f(2x+1)}{f(x)}$$\lim\limits_{x\to\alpha}\cfrac{f(2x+1)}{f(x)}$의 값이 존재한다.

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i. 생각

• $\underset{x\to \alpha }{lim}\frac{f(2x+1)}{f(x)}$$\lim\limits_{x\to\alpha}\cfrac{f(2x+1)}{f(x)}$의 값이 존재한다?

  $f(x)$$f(x)$는 삼차함수이기 때문에 최소 1개의 실근에서 최대 3개의 실근을 가질 수 있다.

  여기서 생각할 것은 분모 $f(x)=0$$f(x)=0$이 될 때이다.

• $f(x)=0$$f(x)=0$을 만드는 $x$$x$의 값이 $2$$2$개 이상이라면?

  우선 $f(\alpha )=0$$f(\alpha)=0$이면, $f(2\alpha +1)=0$$f(2\alpha+1)=0$이어야 한다.

  그러면, 최소한 $\alpha =2\alpha +1$$\alpha=2\alpha+1$을 만족해야한다. $\alpha =-1$$\alpha=-1$

  그런데!!! $\alpha \ne \beta$$\alpha\neq \beta$인 실수 $\beta$$\beta$가 존재해서

  $f(\beta )=0$$f(\beta)=0$을 만족시키면, $f(2\beta +1)=0$$f(2\beta+1)=0$을 만족해야하고.. 물론 여기서 $\beta \ne 2\beta +1$$\beta\neq 2\beta+1$인 경우이다.

  이런 식이면..$f(2\beta +1)=0$$f(2\beta+1)=0$이면 $f(2(2\beta +1)+1)=f(4\beta +3)=0$$f(2(2\beta+1)+1)=f(4\beta+3)=0$을 만족시켜야 극한값이 존재한다.

  $2\beta +1=4\beta +3$$2\beta+1=4\beta+3$이라 보면 $\beta =-1$$\beta=-1$이므로 조건에 위배되고..그렇다면 실근의 개수가 계속해서 늘어가야만 한다. 그런데 $f(x)$$f(x)$는 삼차함수이다!

   

  $\therefore f(x)=0$$\therefore~ f(x)=0$의 실근은 오직 하나임을 알 수 있다. 그리고 그 실근은 $x=-1$$x=-1$이다.

$\therefore f(-1)=0$$\therefore~ f(-1)=0$이고 유일한 실근이다.

ii. 풀자.

• $f(-1)=0$$f(-1)=0$을 이용하면,

  $f(-1)=-1+a-b+4=0$$f(-1)=-1+a-b+4=0$

  $\therefore a-b=-3b=a+3$$\therefore~ a-b=-3\quad b=a+3$

• $f(x)=(x+1)(x^2+\alpha x+\beta )$$f(x)=(x+1)(x^2 +\alpha x+\beta)$로 인수분해 될 것이다.

  그리고 $x^2+\alpha x+\beta =0$$x^2 +\alpha x+\beta=0$은 허근을 가지면 된다.

  인수분해 하자.

  $\begin{array}{rl}f(x)& =x^3+a{x}^2+(a+3)x+4\\ & =ax(x+1)+x^3+3x+4\\ & =ax(x+1)+(x+1)(x^2-x+4)⟵\text{조립제법을 이용 }\\ & =(x+1)(x^2+(a-1)x+4)\end{array}$$\begin{aligned} f(x)&=x^3 +ax^2 +(a+3)x+4\\ &=ax(x+1)+x^3 +3x+4\\ &=ax(x+1)+(x+1)(x^2 -x+4) \quad \longleftarrow \quad \text{조립제법을 이용 } \\ &= (x+1)(x^2 +(a-1)x+4)\end{aligned}$

  즉, $x^2+(a-1)x+4=0$$x^2 +(a-1)x+4=0$이 허근을 가지면 된다.

• 판별식을 이용하자.

  $D=(a-1{)}^2-4^2<0$$D=(a-1)^2 -4^2<0$

  $-3<a<5$$-3<a<5$

• $f(1)=a+b+5=a+a+3+5=2a+8$$f(1)=a+b+5=a+a+3+5=2a+8$의 최댓값은

  $a=4$$a=4$일 때!

$\therefore f(1)$$\therefore~ f(1)$의 최댓값은 $16$$16$