2025학년도 수능 20번

20. 곡선 $y=(\frac{1}{5}{)}^{x-3}$$y=\Big(\cfrac 15\Big)^{x-3}$과 직선 $y=x$$y=x$가 만나는 점의 $x$$x$좌표를 $k$$k$라 하자. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$$f(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

$x>k>$$x>k>$인 모든 실수 $x$$x$에 대하여 $f(x)=(\frac{1}{5}{)}^{x-3}$$f(x)=\Big(\cfrac 15\Big)^{x-3}$이고 $f(f(x))=3x$$f(f(x))=3x$이다.

$f(\frac{1}{k^3\times 5^{3k}})$$f\Big(\cfrac 1{k^3 \times 5^{3k}}\Big)$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 뭐 대충 그래프 그려봐도 되고...아무튼 정보를 정리하면,

  $f(k)=k⟶k=5^{3-k}$$f(k)=k\quad \longrightarrow \quad k=5^{3-k}$

• $k^3$$k^3$을 구해보자.

  $k^3=5^{9-3k}$$k^3 =5^{9-3k}$

  어?

  $k^3\times 5^{3k}=5^9$$k^3 \times 5^{3k}=5^9$

• $f(\frac{1}{5^9})$$f(\cfrac 1{5^9})$를 구하면 된다....

ii. 풀자.

• $f(f(x))=3x$$f(f(x))=3x$를 이용해야할 차례인가보다?

  $f(\alpha )=\frac{1}{5^9}$$f(\alpha)=\cfrac 1{5^9}$라 하면,

  $f(f(\alpha ))=f(\frac{1}{5^9})=3\alpha$$f(f(\alpha))=f(\cfrac 1{5^9})=3\alpha$

  어? $f(12)=(\frac{1}{5^{12-3}})=(\frac{1}{5^9})$$f(12)=\Big(\cfrac1{5^{12-3}}\Big)=\Big(\cfrac 1{5^9}\Big)$

  $\therefore \alpha =12$$\therefore~ \alpha=12$

$\therefore f(\frac{1}{5^9})=3\times 12=36$$\therefore~ f\Big(\cfrac 1{5^9}\Big)=3\times 12=36$