2023학년도 09월 기하 29번

29. 좌표공간에 두 개의 구

$$S_1:x^2+y^2+(z-2{)}^2=4,S_2:x^2+y^2+(z+7{)}^2=49$$

가 있다. 점 $A(\sqrt{5},0,0)$$A(\sqrt 5,~0,~0)$을 지나고 $zx$$zx$ 평면에 수직이며, 구 $S_1$$S_1$과 $z$$z$ 좌표가 양수인 한 점에서 접하는 평면을 $\alpha$$\alpha$라 하자. 구 $S_2$$S_2$가 평면 $\alpha$$\alpha$와 만나서 생기는 원을 $C$$C$라 할 때, 원 $C$$C$ 위의 점 중 $z$$z$ 좌표가 최소인 점을 $B$$B$라 하고 구 $S_2$$S_2$와 점 $B$$B$에서 접하는 평면을 $\beta$$\beta$라 하자.

원 $C$$C$와 평면 $\beta$$\beta$ 위로의 정사영의 넓이가 $\frac{q}{p}\pi$$\cfrac qp\pi$일 때, $p+q$$p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$$p$와 $q$$q$는 서로소인 자연수이다.)

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i. 생각

와 문제 복잡하네.

그나마 이차원으로 접근이 가능하긴 하네...

공간문제는 어떻게든 공간을 잘 잘라서 이차원으로 표현을 시키는 게 급선무다.

ii. 이차원으로 변환하자.

• $xz$$xz$평면으로 잘라서 잘 그리면 되겠다.

  

• 원 $C$$C$의 넓이는 $\pi r^2=\pi (7^2-d^2)$$\pi r^2 =\pi (7^2 -d^2)$

• 정사영시킬 평면사이의 코사인값 : $\cos \circ =\frac{d}{7}$$\cos \circ =\cfrac d7$

$\therefore$$\therefore~$정사영의 넓이$=\pi (7^2-d^2)\times \cos \circ =\pi d(7-\frac{d^2}{7})$$=\pi (7^2 -d^2 )\times \cos \circ =\pi d(7-\cfrac {d^2}7)$

$d=(b+4+7)\sin \star$$d=(b+4+7)\sin \star$

생각보다 단순하네....

원의 성질을 이용하면, $a^2=b\times (b+4)$$a^2 =b\times(b+4)$

$\tan \star =\frac{2}{a}=\frac{\sqrt{5}}{b+4}$$\tan\star=\cfrac 2a=\cfrac{\sqrt 5}{b+4}$

이 두식을 연립하면, $a=8\sqrt{5},b=16$$a=8\sqrt 5,~b=16$

$\sin \star =\frac{2}{b+2}=\frac{1}{9}$$\sin\star=\cfrac 2{b+2}=\cfrac 19$

$\therefore d=(16+4+7)\times \frac{1}{9}=3$$\therefore~ d=(16+4+7)\times \cfrac 19=3$

$\therefore 3\times (7-\frac{9}{7})\pi =\frac{3\times 40}{7}\pi =\frac{120}{7}\pi$$\therefore~ 3\times (7-\cfrac 97)\pi=\cfrac {3\times 40}{7}\pi=\cfrac {120}7\pi$

$\therefore p+q=127$$\therefore~ p+q=127$