2022년 07월 기하 30번

30. 공간에서 중심이 $O$$O$이고 반지름의 길이가 $4$$4$인 구와 점 $O$$O$를 지나는 평면 $\alpha$$\alpha$가 있다. 평면 $\alpha$$\alpha$와 구가 만나서 생기는 원 위의 서로 다른 세 점 $A,B,C$$A,~B,~C$에 대하여 두 직선 $OA,BC$$OA,~BC$가 서로 수직일 때, 구 위의 점 $P$$P$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\mathrm{\angle }PAO=\frac{\pi }{3}$$\angle PAO=\cfrac {\pi}3$

(나) 점 $P$$P$의 평면 $\alpha$$\alpha$ 위로의 정사영은 선분 $OA$$OA$ 위에 있다.

$\cos (\mathrm{\angle }PAB)=\frac{10}{8}$$\cos (\angle PAB)=\cfrac {10}8$일 때, 삼각형 $PAB$$PAB$의 평면 $PAC$$PAC$ 위로의 정사영의 넓이를 $S$$S$라 하자. $30\times S^2$$30\times S^2$의 값을 구하시오. (단, $0<\mathrm{\angle }BAC<\frac{\pi }{2}$$0<\angle BAC<\cfrac {\pi}2$)

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i. 생각

• $\cos \mathrm{\angle }PAB=\frac{10}{8}⟶\sin \mathrm{\angle }PAB=\frac{3\sqrt{6}}{8}$$\cos \angle PAB=\cfrac {10}8\quad \longrightarrow \quad \sin \angle PAB=\cfrac {3\sqrt 6}8$

• $\overline{BC}\mathrm{\perp }\overline{AO}$$\overline{ BC}\bot \overline{ AO}$

  • $\overline{AO}$$\overline{ AO}$의 연장선과 $\overline{BC}$$\overline{ BC}$가 만나는 점을 $H$$H$
  • $P$$P$에서 $\overline{AO}$$\overline{ AO}$에 내린 수선의 발을 $I$$I$라 하자.

  

  • $\overline{AH}\mathrm{\perp }\overline{BC},\overline{BH}=\overline{HC}$$\overline{ AH}\bot \overline{ BC},~\overline{ BH}=\overline{ HC}$

  • 조건 (가)를 이용하자.

    $\overline{PA}=4=\overline{OP}=\overline{OA}$$\overline{ PA}=4=\overline{ OP}=\overline{ OA}$ 정삼각형이다.

    $\therefore \overline{AI}=2$$\therefore~ \overline{ AI}=2$

• 필요한 것은 $\mathrm{△}PAB$$\triangle PAB$의 넓이와 정사영을 내릴 평면과의 사잇각의 코사인값이다.

  • $\mathrm{△}PAB$$\triangle PAB$의 넓이를 구하자.

    • $\overline{PA}=4$$\overline{ PA}=4$

    • $\overline{AB}$$\overline{ AB}$를 알아내면 넓이를 구할 수 있다!

      ${\overline{AB}}^2={\overline{AH}}^2+{\overline{BH}}^2$$\overline{ AB}^2 =\overline{ AH}^2 +\overline{ BH}^2$

      어....어.....간단하지 않을 거 같다.

    • $\overline{BH}=b,\overline{OH}=a$$\overline{ BH}=b,~\overline{OH}=a$라 하면, $a$$a$와 $b$$b$를 구해하면...제길...

      • $\mathrm{△}OBH$$\triangle OBH$에서

        $a^2+b^2=16$$a^2 +b^2=16$

      • ${\overline{AB}}^2=(4+a{)}^2+b^2=32+8a(a^2+b^2=16$$\overline{ AB}^2 = (4+a)^2 +b^2 =32+8a\quad (a^2 +b^2 =16$이용$)$$)$

      어랏...안 풀리네...또 뭐 있지? 와..설마 $\overline{PB}$$\overline{ PB}$ 까지 구해야 하나?

      • ${\overline{PB}}^2={\overline{PH}}^2+b^2$$\overline{ PB}^2 =\overline{ PH}^2 +b^2$

        아오...

        ${\overline{PH}}^2={\overline{PI}}^2+{\overline{IH}}^2$$\overline{ PH}^2 =\overline{ PI}^2 +\overline{ IH}^2$

        $\overline{PI}=2\sqrt{3}$$\overline{ PI}=2\sqrt 3$

        $\therefore {\overline{PH}}^2=12+(2+a{)}^2$$\therefore~ \overline{ PH}^2 =12+(2+a)^2$

        정리하자.

        ${\overline{PB}}^2=12+(2+a{)}^2+b^2=32+4a$$\overline{ PB}^2 =12+(2+a)^2 +b^2=32+4a$

      와 결국 세 변의 길이를 다 표현했어... 그런데 안 풀리네...어?

      $\cos \mathrm{\angle }PAB$$\cos \angle PAB$의 값을 알고 있다...이걸 써서 $a$$a$를 구하자.

      $\therefore a=1,b=\sqrt{15}$$\therefore~ a=1,~b=\sqrt{15}$

    $\therefore \mathrm{△}PAB=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot \sqrt{40}\sin \mathrm{\angle }PAB=3\sqrt{15}$$\therefore~ \triangle PAB=\cfrac 12 \cdot 4\cdot \sqrt{40}\sin \angle PAB=3\sqrt{15}$

  • 사잇각을 구하자.

    • $B$$B$에서 $\overline{PA}$$\overline{ PA}$에 내린 수선의 발을 $j$$j$라 하자. 당연히 $\mathrm{△}PAB$$\triangle PAB$와 $\mathrm{△}PAC$$\triangle PAC$는 합동이다.

    

    • $\overline{BJ}=\overline{AB}\sin \mathrm{\angle }PAB=2\sqrt{10}\times \frac{3\sqrt{6}}{8}=\frac{3\sqrt{15}}{2}=\overline{JC}$$\overline{ BJ}=\overline{ AB}\sin \angle PAB=2\sqrt {10} \times \cfrac {3\sqrt 6}8 =\cfrac {3\sqrt{15}}2=\overline{ JC}$

    $\cos \mathrm{\angle }BJC$$\cos \angle BJC$를 구면 된다.

    • $\mathrm{△}JBC$$\triangle JBC$에서 코사인 제$2$$2$법칙을 사용하면,

      $\sqrt{15}=a$$\sqrt{15}=a$로 치환하면 각 변의 길이는 $\frac{3}{2}a,\frac{3}{2}a,2a$$\cfrac 32a,~\cfrac 32a,~2a$

      $3:3:4$$3:3:4$인 삼각형의 코사인값을 구하면 된다.

      $\cos \theta =\frac{1}{9}$$\cos \theta =\cfrac 19$

      와~~~~ 다 구했다!!! 니미...

• 계산하자.

  $S=3\sqrt{15}\times \frac{1}{9}=\frac{\sqrt{15}}{3}$$S=3\sqrt{15}\times \cfrac 19=\cfrac {\sqrt {15}}3$$

  $\therefore 30S^2=30\times \frac{15}{9}=50$$\therefore~ 30S^2 =30\times \cfrac {15}9=50$