2020년 07월 나형 30번

30. $t\ge 6-3\sqrt{2}$$t\ge 6-3\sqrt 2$인 실수 $t$$t$에 대하여 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)$$f(x)$가

$$\begin{array}{c}f(x)=\{\begin{array}{ll}3x^2+tx& (x<0)\\ \\ -3x^2+tx& (x\ge 0)\end{array}\end{array}$$

일 때, 다음 조건을 만족시키는 실수 $k$$k$의 최솟값을 $g(t)$$g(t)$라 하자.

(가) 닫힌구간 $[k-1,k]$$[k-1,~k]$에서 함수 $f(x)$$f(x)$는 $x=k$$x=k$에서 최댓값을 갖는다.

(나) 닫힌구간 $[k,k+1]$$[k,~k+1]$에서 함수 $f(x)$$f(x)$는 $x=k+1$$x=k+1$에서 최솟값을 갖는다.

$\begin{array}{r}3{\int }_2^4\{6g(t)-3{\}}^{2}dt\end{array}$$\begin{aligned} 3\int_2^4 \big\{6g(t)-3\big\} ^2 dt\end{aligned}$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 그래프부터 그려보자.

  1. $(k-1,f(k-1)),(k,f(k))$$(k-1,~f(k-1)),~(k,~f(k))$를 이은 선분이 제$3$$3$사분면에 있을 때,

     

     • $\frac{t}{3}\ge 1⟶t\ge 3$$\cfrac t3 \ge 1\quad\longrightarrow \quad t\ge3$

     그래프에서 (나) 조건을 만족시키기 위해서는 $\frac{t}{6}-\frac{1}{2}\le k$$\cfrac t6 -\cfrac 12\le k$일 때 가능하다.

  2. $(k-1,f(k-1)),(k,f(k))$$(k-1,~f(k-1)),~(k,~f(k))$를 이은 선분이 제$4$$4$사분면에 있을 때,

     

     • $\frac{t}{3}<1⟶t<3$$\cfrac t3 <1\quad \longrightarrow \quad t<3$

     그래프에서 조건을 만족시키기 위해서는 $3(k-1{)}^2+t(k-1)=-3k^2+tk$$3(k-1)^2 +t(k-1)=-3k^2 +tk$의 근 중 양의 근일 때이다.

     이 방정식을 $k$$k$에 대해 풀면,

     $k=\frac{3\pm \sqrt{6t-9}}{6}⟶6t-9>0$$k=\cfrac {3\pm \sqrt{6t-9}}6\quad \longrightarrow \quad 6t-9>0$

     $\frac{3}{2}<t$$\cfrac 32<t$

     $\frac{3}{2}<6-3\sqrt{2}$$\cfrac 32<6-3\sqrt 2$를 만족하니까 다행이다.

• $g(t)$$g(t)$를 구하면,

  $\begin{array}{c}g(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{t}{6}-\frac{1}{2}& (t\ge 3)\\ \\ \frac{3+\sqrt{6t-9}}{6}& (6-3\sqrt{2}\le t<3)\end{array}\end{array}$$g(t)=\begin{cases} \cfrac t6 -\cfrac 12 &(t\ge 3)\\ \\ \cfrac {3+\sqrt{6t-9}}6&(6-3\sqrt 2 \le t<3)\end{cases}$

• 계산하자.

  $\begin{array}{rl}3{\int }_2^4\{6g(t)-3{\}}^{2}dt& =3[{\int }_2^3\{6g(t)-3{\}}^{2}dt+{\int }_3^4\{6g(t)-3{\}}^{2}dt]\\ \\ & =3\{{\int }_2^3(6t-9)dt+{\int }_3^4(t-6{)}^2\}\\ \\ & =18+19\\ \\ & =37\end{array}$$\begin{aligned} 3\int_2^4 \{6g(t)-3\}^2 dt &=3\Big[ \int_2^3 \{6g(t)-3\} ^2 dt +\int_3^4 \{6g(t)-3\} ^2 dt\Big]\\ \\ &=3\Big\{\int_2^3 (6t-9)dt +\int_3^4 (t-6)^2\Big\} \\ \\ &=18+19 \\ \\ &= 37\end{aligned}$

$\begin{array}{r}\therefore {\int }_2^4\{6g(t)-3{\}}^{2}dt=37\end{array}$$\begin{aligned}\therefore~ \int_2^4 \{6g(t)-3\}^2 dt =37 \end{aligned}$