2021학년도 09월 가형 21번

21. 닫힌구간 $[-2\pi ,2\pi ]$$[-2\pi,~2\pi]$에서 정의된 두 함수

$$f(x)=\sin kx+2,g(x)=3\cos 12x$$

에 대하여 다음 조건을 만족시키는 자연수 $k$$k$의 개수를 구하시오.

실수 $a$$a$가 두 곡선 $y=f(x),y=g(x)$$y=f(x),~y=g(x)$의 교점의 $y$$y$ 좌표이면 $\{x|f(x)=a\}\subset \{x|g(x)=a\}$$\{x|f(x)=a\} \subset \{x|g(x)=a\}$이다.

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i. 생각

• 교점의 $x$$x$좌표를 $\alpha$$\alpha$라 하면, $\sin k\alpha +2=3\cos 12\alpha$$\sin k\alpha +2 =3\cos 12\alpha$

• 그리고 $\sin$$\sin$함수의 성질에 따라 대칭된 값도 성립해야한다.

  • $f(x)$$f(x)$의 주기는

    $kp=2\pi ⟶p=\frac{2\pi }{k}$$kp=2\pi\quad \longrightarrow \quad p=\cfrac {2\pi }k$

  • $\alpha$$\alpha$가 근이면, $\frac{1}{2}\times \frac{2\pi }{k}-\alpha$$\cfrac 12 \times \cfrac {2\pi}k-\alpha$도 근이어야 한다.

  즉,

  $3\cos 12\alpha =3\cos 12(\frac{\pi }{k}-\alpha )$$3\cos 12\alpha =3\cos 12(\cfrac {\pi} k-\alpha )$를 만족해야 한다.

• $\frac{12\pi }{k}=2n\pi$$\cfrac {12\pi}k=2n\pi \quad$(단, $n$$n$은 자연수$

  $k=1,2,3,6$$k=1,~2,~3,~6$

$\therefore 4$$\therefore~ 4$개