2020학년도 11월 나형 29번

29. 세 명의 학생 $A,B,C$$A,~B,~C$에게 같은 종류의 사탕 $6$$6$개와 같은 종류의 초콜릿 $5$$5$개를 다음 규칙에 따라 남김없이 나누어 주는 경우의 수를 구하시오.

(가) 학생 $A$$A$가 받는 사탕의 개수는 $1$$1$ 이상이다.

(나) 학생 $B$$B$가 받는 초콜릿의 개수는 $1$$1$ 이상이다.

(다) 학생 $C$$C$가 받는 사탕의 개수와 초콜릿의 개수의 합은 $1$$1$ 이상이다.

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i. 정리

• $A,B,C$$A,~B,~C$
• $\{\begin{array}{l}a=6\\ \\ b=5\end{array}$$\begin{cases} a=6\\ \\ b=5\end{cases}$
• $\{\begin{array}{l}A:a1\uparrow \\ \\ B:b1\uparrow \\ \\ C:a+b1\uparrow \end{array}$$\begin{cases} A:~a~1\uparrow\\ \\ B:~b~1\uparrow\\ \\ C:~a+b~1\uparrow\end{cases}$

ii. 생각

• 이해를 돕기위해 표를 그리면,

  	$A$$A$	$B$$B$	$C$$C$
  $a$$a$	$1$$1$
  $b$$b$		$1$$1$
  			$\uparrow$$\uparrow$ 합쳐서???

• $C$$C$의 조건을 생각하면?

  경우의 수를 나누기가 너무 복잡하다...

  어?

  아예 $0$$0$개를 받는 경우를 구해서 여사건으로 해결하면 되겠네!

• 조건 (가)와 조건 (나)를 만족시키는 전체 경우의 수는?

  $A,B,C$$A,~B,~C$가 받는 사탕의 개수를 각각 $a_1,a_2,a_3$$a_1,~a_2,~a_3$라 하고 초콜릿의 개수를 $b_1,b_2,b_3$$b_1,~b_2,~b_3$라 하자.

  • $a_1=1+a_1^{\prime }$$a_1=1+a_1'$이라 하면,

    $a_1^{\prime }+a_2+a_3=5$$a_1' +a_2+a_3=5$

    ${}_3{H}_5$${}_3H_5$

  • $b_2=b_2^{\prime }+1$$b_2=b_2'+1$이라 하면,

    $b_1+b_2^{\prime }+b_3=4$$b_1+b_2'+b_3=4$

    ${}_3{H}_4$${}_3H_4$

  $\therefore {}_3{H}_5{\times }_3{H}_4=315$$\therefore~ _3H_5\times _3H_4=315$

• $C$$C$가 하나도 받지 않는 경우의 수는?

  • $a_1^{\prime }+a_2=5$$a_1'+a_2=5$

    ${}_2{H}_5$${}_2H_5$

  • $b_1+b_2^{\prime }=4$$b_1+b_2'=4$

    ${}_2{H}_4$${}_2H_4$

  $\therefore {}_2{H}_5{\times }_2{H}_4=30$$\therefore~ _2H_5\times _2H_4=30$

$\therefore 315-30=285$$\therefore~ 315-30 =285$