2017년 04월 가형 29번

29. 좌표평면에서 $2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 두 곡선 $y=3^x -n,~y=\log_3 (x+n)$으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 $x$좌표와 $y$ 좌표가 모두 자연수인 점의 개수가 $4$가 되도록 하는 자연수 $n$의 개수를 구하시오.

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i. 정리

• $y=3^x -n$
• $y=\log_3 (x+n)$
• 격자점 $4$개

ii. 생각

• 지수와 로그$\Longrightarrow$역함수 관계인가?

  $x=3^y-n\quad\longrightarrow y=\log_3(x+n)$

  역함수네...

• 역함수의 성질을 생각하자.

  • $(a,~a)$는 포함
  • $(a,~b)$가 포함되면 $(b,~a)$도 포함

경우를 나누자.

• $(1,~1),~(2,~2),~(3,~3),~(4,~4)$인 경우

  • $x=1$일 때

    $3^1-n<1\quad \longrightarrow\quad 2<n$

    $1\le \log_3(1+n)<2\quad \longrightarrow\quad 2\le n<8$

    $\therefore~2<n<8$

  • $x=2$일 때

    $1<3^2-n< 3\quad \longrightarrow\quad 6< n<8$

    $1< \log_3(2+n)<3\quad\longrightarrow\quad 1<n<25$

    $\therefore~6<n<8$

  • $x=3$일 때

    $2<3^3-n<4\quad\longrightarrow\quad 23<n<25$

  어...동시에 만족해야하는데 불가능하다.

• $(1,1),~(1,~2),~(2,~1),~(2,~2)$인 경우

  • $x=1$일 때

    $3^1 -n\le 1\quad\longrightarrow\quad 2\le n$

    $2\le \log_3 (1+n)<3\quad \longrightarrow\quad 8\le n<27$

  • $x=2$일 때

    $3^2 -n\le 1\quad\longrightarrow\quad 8\le n$

    $2\le \log_3(2+n)<3\quad \longrightarrow\quad 7\le n<27$

  • $x=3$일 때

    $3\le 3^3 -n\quad \longrightarrow\quad n\le 24$

    $2\le \log_3(3+n)<3\quad \longrightarrow\quad 6\le n<24$

  $\therefore~6\le n\le 23$

$\therefore~16$

수식만으로 이해가 안 가면... 그래프를 대충 그려보자.