2016년 03월 가형 30번

Dyner 2022. 4. 27. 04:17

2016.03.A.30

30. 함수 $f(x)=x^2e^{ax}~(a<0)$ 에 대하여 부등식 $f(x)\ge t~(t>0)$ 을 만족시키는 $x$ 의 최댓값을 $g(t)$ 라 정의하자. 함수 $g(t)$ 가 $t=\cfrac{16}{e^2}$ 에서 불연속일 때, $100a^2$ 의 값을 구하시오. (단, $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=0$ )

i. 정리

$f(x)=x^2 e^{ax}\quad (a<0)$

$f(x)\ge t~(t>0)\quad\longrightarrow\quad g(t)=x_{\max}$

$g(t)$ 는 $t=\cfrac{16}{e^2}$ 에서 불연속

ii. 생각

$y=f(x)$ 의 개형부터 그리자.

$f'(x)=ax(x+\cfrac 2a)e^x$

헐...풀렸네?

$f\big(-\cfrac 2a\big) =\cfrac{16}{e^2}$

$\begin{aligned} f\big(-\cfrac 2a\big)&=\cfrac 4 {a^2} e^{a\times- \cfrac 2a} \\ \\ &=\cfrac 4{a^2}e^{-2}=\cfrac {16}{e^2}\end{aligned}$

$\therefore~a^=\cfrac 14$

$\therefore~100a^2 =25$

저작자표시 비영리 변경금지 (새창열림)

2016년 03월 가형 30번

30. 함수 f(x)=x^2e^{ax}~(a<0)에 대하여 부등식 f(x)\ge t~(t>0)을 만족시키는 x의 최댓값을 g(t)라 정의하자. 함수 g(t)가 t=\cfrac{16}{e^2}에서 불연속일 때, 100a^2의 값을 구하시오. (단, \lim\limits_{x\to \infty} f(x)=0)

30. 함수 $f(x)=x^2e^{ax}~(a<0)$ 에 대하여 부등식 $f(x)\ge t~(t>0)$ 을 만족시키는 $x$ 의 최댓값을 $g(t)$ 라 정의하자. 함수 $g(t)$ 가 $t=\cfrac{16}{e^2}$ 에서 불연속일 때, $100a^2$ 의 값을 구하시오. (단, $\lim\limits_{x\to \infty} f(x)=0$ )