2016년도 04월 나형 30번

30. 함수 $f(x)=x^2 -8x+a$에 대하여 함수 $g(x)$를

라 할 때, 다음 조건을 만족시키는 모든 실수 $a$의 값의 곱을 구하시오.

(가) 방정식 $f(x)=0$은 열린 구간 $(0,~2)$에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

(나) 함수 $f(x)g(x)$는 $x=a$에서 연속이다.

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i. 정리

• $f(x)=x^2 -8x +a$

  $(0,~2)$에서 하나의 실근을 갖는다!

• $g(x)=\begin{cases} 2x+5a&(x\ge a)\\ \\ f(x+4)&(x<a)\end{cases}$

• $h(x)=f(x)g(x)$는 $x=a$에서 연속

ii. 생각

• $f(x)=0$은 $(0,~2)$에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

  • 이차함수의 기본형을 생각하면?

    $f(x)=(x-4)^2 +a-16$

  • 어? 대칭축이 $x=4$ 이면?

    • $f(0)>0,~f(2)<0$

    이를 풀면,

    $0<a<12$

• $h(x)$는 $x=a$에서 연속이다

  $\lim\limits_{x\to a+}h(x)=\lim\limits_{x\to a-} h(x)=h(a)$

  이를 이용하면,

  $\Big((a-4)^2 +a-16)\Big)7a =\Big((a-4)^2 +a-16\Big)(a^2 +a-16)$

  정리하면,

  $a(a-7)(a+2)(x-8)=0$

  $a=-2,~0,~7,~8$

$\therefore~a=7,~8$

$\therefore~7\times 8 =56$