2021년 10월 기하 29번

29. 그림과 같이 두 초점이 $F,F^{\prime }$$F,~F'$인 쌍곡선 $x^2-\frac{y^2}{16}=1$$x^2 -\cfrac {y^2}{16}=1$이 있다. 쌍곡선 위에 있고 제$1$$1$사분면에 있는 점 $P$$P$에 대하여 점 $F$$F$에서 선분 $P{F}^{\prime }$$PF'$에 내린 수선의 발을 $Q$$Q$라 하고, $\mathrm{\angle }FQP$$\angle FQP$의 이등분선이 선분 $PF$$PF$와 만나는 점을 $R$$R$라 하자. $4\overline{PR}=3\overline{RF}$$4\overline{PR}=3\overline{RF}$일 때, 삼각형 $P{F}^{\prime }F$$PF'F$의 넓이를 구하시오. (단, 점 $F$$F$의 $x$$x$좌표는 양수이고, $\mathrm{\angle }{F}^{\prime }PF<{90}^{\circ }$$\angle F'PF<90^{\circ}$이다.)

---

i. 정리

• 쌍곡선의 길이의 차 : $2$$2$
• 쌍곡선의 $F$$F$의 $x$$x$좌표 : $\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$$\sqrt{1+16}=\sqrt{17}$

ii. 생각

• $4\overline{PR}=3\overline{RF}$$4\overline{PR}=3\overline{RF}$와 $\mathrm{△}PQF$$\triangle PQF$에 대해 각의 이등분선 비례식을 사용하면,

  $\overline{QP}:\overline{QF}=\overline{PR}:\overline{RF}=3:4$$\overline{QP}:\overline{QF} =\overline{PR}:\overline{RF}=3:4$

  $\overline{PQ}=3k$$\overline{PQ}=3k$라 하면, $\overline{QF}=4k$$\overline{QF}=4k$이고 $\overline{PF}=5k$$\overline{PF}=5k$이다. ($\because \mathrm{△}PQF$$\because~\triangle PQF$는 $\mathrm{\angle }PQF={90}^{\circ }$$\angle PQF=90^{\circ}$)

• 쌍곡선의 정의를 이용하면, ($\overline{P{F}^{\prime }}>\overline{PF}$$\overline{PF'}>\overline{PF}$ )

  $\overline{Q{F}^{\prime }}=2k+2$$\overline{QF'}=2k+2$

  $\mathrm{△}Q{F}^{\prime }F$$\triangle QF'F$에 직각삼각형임을 이용하면,

  $(2k+2{)}^2+(4k{)}^2=(2\sqrt{17}{)}^2$$(2k+2)^2+(4k)^2=(2\sqrt{17})^2$

  $\therefore k=\frac{8}{5}$$\therefore~k=\cfrac85$

iii. 계산

• $\sin \mathrm{\angle }P{F}^{\prime }F=\frac{\frac{32}{5}}{2\sqrt{17}}=\frac{16}{5\sqrt{17}}$$\sin \angle PF'F=\cfrac {\cfrac{32}5}{2\sqrt{17}}=\cfrac {16}{5\sqrt {17}}$
• $S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{17}\cdot 10\cdot \frac{16}{5\sqrt{17}}=32$$S=\cfrac 12 \cdot 2\sqrt{17}\cdot 10 \cdot \cfrac{16}{5\sqrt{17}}=32$