모의고사 풀이/공통

2021년 10월 22번

Dyner 2022. 3. 21. 16:56
2021.10.22
22. 양수 a에 대하여 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)와 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 g(x)가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 모든 실수 x에 대하여 |x(x2)|g(x)=x(x2)(|f(x)|a) 이다.
(나) 함수 g(x)x=0x=2에서 미분가능하다.
g(3a)의 값을 구하시오.

i. 정리

  • a>0, f(x)=x3+

  • 조건 (나)를 살펴보면, g(x)는 모든 실수에서 연속이다?

    g(x)=x(x2)(|f(x)|a)|x(x2)|

    이고, 연속이다.

ii. 생각

  1. x=0에서 연속.

    limx0+g(x)=limx0g(x)=g(0)

    계산하면,

    (|f(0)|a)=|f(0)|a

    |f(0)|=a

     f(0)=±a, g(0)=0

  2. x=2에서 연속.

    limx2+=limx2g(x)=g(2)

    마찬가지로 계산하면,

     f(2)=±a, g(2)=0

iii. 미분가능을 이용하자.

g(x)={|f(x)|ax<00x=0|f(x)|+a0<x<20x=2|f(x)|a2<x

계산하기 까다로우니, h(x)=|f(x)|라고 하자. 그러면,

g(x)={h(x)x<0h(x)0<x<2h(x)2<x

  1. x=0일 때 미분가능이다.

    limx0g(x)=limx0+g(x)=g(0)

    h(0)=h(0)

     h(0)=0 & g(0)=0

  2. x=2일 때 미분가능이다.

    마찬가지로 계산하면,

    h(2)=0

     h(2)=0 & g(2)=0

 f(x)=3x(x2)이고 극댓값은 a, 극솟값은 a임을 알 수 있다.

iv. 계산

f(x)=x33x2+a이고, f(2)=a 이다.

계산하면, a=2

 g(6)=108