2022학년도 09월 21번

21. $a>1$$a>1$인 실수 $a$$a$에 대하여 직선 $y=-x+4$$y=-x+4$가 두 곡선

$$y=a^{x-1},y={\log }_a(x-1)$$

과 만나는 점을 각각 $A,B$$A,~B$라 하고, 곡선 $y=a^{x-1}$$y=a^{x-1}$이 $y$$y$ 축과 만나는 점을 $C$$C$라 하자. $\overline{AB}=2\sqrt{2}$$\overline{AB}=2\sqrt 2$일 때, 삼각형 $ABC$$ABC$의 넓이는 $S$$S$이다. $50\times S$$50\times S$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $a>1$$a>1$, $\{\begin{array}{l}y=a^{x-1}\\ \\ {\log }_a(x-1)\\ \\ y=-x+4\end{array}$$\begin{cases} y=a^{x-1} \\ \\ \log_a (x-1)\\ \\ y=-x+4 \end{cases}$

• $\overline{AB}=2\sqrt{2}$$\overline{AB}=2\sqrt 2$

• $S=\frac{1}{2}\times \overline{AB}\times h$$S=\cfrac 12 \times \overline{AB}\times h$

  $h$$h$는 점 $C$$C$와 $\overline{AB}$$\overline{AB}$ 사이의 거리

  $\therefore h=\frac{|\frac{1}{a}-4|}{\sqrt{2}}$$\therefore~h=\cfrac {|\cfrac 1a -4|}{\sqrt 2}$

  $\therefore S=|\frac{1}{a}-4|$$\therefore~S=\Big|\cfrac 1a-4\Big|$

ii. 생각하자.

• 보통 지수$\cdot$$\cdot$로그 함수가 나오면 역함수 관계인데....얘는 역함수가 아니네...

  • 어? 둘다 $x$$x$ 축으로 $-1$$-1$만큼 이동하면???

    $\{\begin{array}{l}y=a^x\\ \\ y={\log }_{a}x\end{array}$$\begin{cases} y=a^x \\ \\ y=\log_a x\end{cases}$

    올레! 그럼 원래 주어진 함수의 대칭축은 $y=x$$y=x$를 $x$$x$축으로 $1$$1$만큼 이동시킨 $y=x-1$$y=x-1$이다!

iii. 이제 그래프를 활용하자.

• $E$$E$의 좌표는 $\{\begin{array}{l}y=-x+4\\ \\ y=x-1\end{array}$$\begin{cases} y=-x+4 \\ \\ y=x-1\end{cases}$의 교점이고, 좌표는 $E(\frac{5}{2},\frac{3}{2})$$E(\cfrac 52,\cfrac 32)$

• $\overline{AE}=\overline{ED}=\overline{EB}=\sqrt{2}$$\overline{AE}=\overline{ED}=\overline{EB}=\sqrt 2$이고, 직각이등변삼각형이다.

  $\therefore \overline{AD}=\overline{DB}=2$$\therefore~\overline{AD}=\overline{DB}=2$

$D$$D$의 좌표를 $(\alpha ,\alpha -1)$$(\alpha,~\alpha -1)$이라 하면, $E$$E$의 좌표는 $E(\alpha +1,\alpha )$$E(\alpha+1,~\alpha)$

$\therefore \alpha =\frac{3}{2}$$\therefore~\alpha=\cfrac 32$

$A(\alpha ,\alpha +1)=A(\alpha ,a^{\alpha -1})$$A(\alpha,~\alpha+1)=A(\alpha,~a^{\alpha -1})$이므로,

$\frac{5}{2}=a^{\frac{1}{2}}⟶a=\frac{25}{4}$$\cfrac 52 =a^{\cfrac 12}\quad \longrightarrow\quad a=\cfrac {25}4$

iv. 넓이를 구하자.

$\therefore 50\times S=50\times |\frac{4}{25}-4|=50\times \frac{96}{25}=192$$\therefore~50\times S=50\times\Big| \cfrac 4{25}-4\Big| =50\times \cfrac{96}{25} =192$