2024년 07월 미적분 30번

30. 상수 $a(0<a<1)$$a(0<a<1)$에 대하여 함수 $f(x)$$f(x)$를 $f(x)=\begin{array}{r}{\int }_0^x\ln (e^{|t|}-a)dt\end{array}$$f(x)=\begin{aligned} \int_0^ x \ln \big(e^{|t|}-a\big)dt\end{aligned}$라 하자. 함수 $f(x)$$f(x)$와 상수 $k$$k$는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $f(x)$$f(x)$는 $x=\ln \frac{3}{2}$$x=\ln \cfrac 32$에서 극값을 갖는다.

(나) $f(-\ln \frac{3}{2})=\frac{f(k)}{6}$$f\Big(-\ln \cfrac 32\Big) =\cfrac{f(k)}6$

$\begin{array}{r}{\int }_0^k\frac{|f^{\prime }(x)|}{f(x)-f(k)}dx=p\end{array}$$\begin{aligned} \int_0^k \cfrac {|f'(x)|}{f(x)-f(k)}dx =p\end{aligned}$일 때, $100\times a\times e^p$$100\times a\times e^p$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $f^{\prime }(x)=\ln (e^{|x|}-a)$$f'(x)=\ln \big(e^{|x|} -a\big)$

  $f^{\prime }(\ln \frac{3}{2})=\ln (e^{\ln \frac{3}{2}}-a)=0$$f'(\ln \cfrac 32) =\ln (e^{\ln \cfrac 32 } -a)=0$

  $\therefore a=\frac{1}{2}$$\therefore~ a=\cfrac 12$

주어진 적분식을 계산할 수 없네...그럼 좀 더 살펴보자... 어?

• $y=f^{\prime }(x)$$y=f'(x)$는 $y$$y$축에 대칭이다

  그러면, $y=f(x)$$y=f(x)$는 점대칭이고, $f(0)=0$$f(0)=0$이니까 원점대칭이다!

그럼 이제 그래프로 개형을 그려보고 더 생각하자.

이를 기준으로 $y=f(x)$$y=f(x)$의 그래프를 대충 그리면,

$f(-\ln \frac{3}{2})=-f(\ln \frac{3}{2})=\frac{f(k)}{6}$$f\big(-\ln \cfrac 32\big)=-f\big(\ln \cfrac 32\big)=\cfrac {f(k)}6$

편의상 $f(-\ln \frac{3}{2})=\alpha$$f\big(-\ln\cfrac 32 \big)=\alpha$라 하면, $f(k)=6\alpha$$f(k)=6\alpha$이고 그래프로 살펴보면 $k>0$$k>0$이고 $\ln \frac{3}{2}<k$$\ln \cfrac 32 <k$임을 알 수 있다.

이제 주어진 식을.....계산을 해보자!

$g(x)=f(x)-f(-k)=f(x)+f(k)$$g(x)=f(x)-f(-k)=f(x)+f(k)$라 하면,

$g^{\prime }(x)dx=f^{\prime }(x)$$g'(x)dx =f'(x)$이고 적분구간은 변함이 없다.

$\begin{array}{rl}{\int }_0^k\frac{|f^{\prime }(x)|}{f(x)+f(k)}dx& ={\int }_0^{\ln \frac{3}{2}}\frac{-f^{\prime }(x)}{f(x)+f(k)}dx+{\int }_{\ln \frac{3}{2}}^k\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)+f(k)}dx\\ & =-{\int }_0^{\ln \frac{3}{2}}\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}dx+{\int }_{\ln (\frac{3}{2}}^k\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}dx\\ & =-[\ln |g(x)|{]}_0^{\ln \frac{3}{2}}+[\ln |g(x)|{]}_{\ln \frac{3}{2}}^k\end{array}$$\begin{aligned}\int_0^k \cfrac{|f'(x)|}{f(x)+f(k)}dx &=\int_0^{\ln \cfrac 32}\cfrac {-f'(x)}{f(x)+f(k)} dx +\int_{\ln \cfrac 32} ^k \cfrac {f'(x)}{f(x)+f(k)}dx\\ &=-\int_0^{\ln\cfrac 32} \cfrac{g'(x)}{g(x)} dx +\int_{\ln(\cfrac 32} ^k \cfrac {g'(x)}{g(x)}dx \\ &= -\Big[\ln |g(x)|\Big]_0^{\ln\cfrac 32} +\Big[\ln |g(x)|\Big]_{\ln \cfrac 32}^k\end{aligned}$

단순 계산은 생략하자. 아무튼

(준식)$=-\ln 5\alpha +\ln 6\alpha +\ln 12\alpha -\ln 5\alpha =\ln \frac{6\cdot 12}{5^2}=\ln \frac{72}{25}$$=-\ln 5\alpha +\ln 6\alpha +\ln 12\alpha-\ln 5\alpha=\ln\cfrac {6\cdot 12}{5^2}=\ln\cfrac {72}{25}$

다행이 숫자로 나오네...

$\therefore p=\frac{72}{25}$$\therefore~ p=\cfrac{72}{25}$

$\therefore 100\times a\times e^p=100\times \frac{1}{2}\times \frac{72}{25}=144$$\therefore~ 100\times a\times e^p =100\times \cfrac 12 \times \cfrac {72}{25}=144$