2024년 07월 미적분 29번

29. 첫째항이 $1$$1$이고 공비가 $0$$0$이 아닌 등비수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$에 대하여 급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n$이 수렴하고 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(20a_{2n}+21|a_{3n-1}|)=0$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \big(20a_{2n}+21|a_{3n-1}|\big)=0$이다. 첫째항이 $0$$0$이 아닌 등비수열 $\{b_n\}$$\{b_n\}$에 대하여 급수 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{3|a_n|+b_n}{a_n}$$\sum\limits_{ n=1}^{\infty} \cfrac{3|a_n|+b_n}{a_n}$이 수렴할 때, $b_1\times \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n$$b_1\times \sum\limits_{ n=1}^{\infty} b_n$의 값을 구하시오.

---

i. 정리

• $a_n=r^{n-1}r\ne 0,|r|<1$$a_n=r^{n-1}\quad r\neq 0,~|r|<1$

• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(20a_{2n}+21|a_{3n-1}|)=0$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \big(20a_{2n}+21|a_{3n-1}|\big)=0$

  • 급수의 값이 $0$$0$이 되기 위해서 $-1<r<0$$-1<r<0$

  • $a_{2n}=r^{2n-1}=r(r^2{)}^{n-1}⟶\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{2n}=\frac{r}{1-r^2}$$a_{2n}=r^{2n-1}=r(r^2)^{n-1}\quad \longrightarrow \quad \sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{2n} =\cfrac r{1-r^2}$

  • $a_{3n-1}$$a_{3n-1}$을 살펴보자.

    $\begin{array}{c}{a}_{3n-1}=r(r^3{)}^{n-1}=\{\begin{array}{ll}r\cdot (r^6{)}^{n-1}& (n=2k-1)\\ r^4\cdot (r^6{)}^{n-1}& (n=2k)\end{array}\end{array}$$a_{3n-1}=r(r^3)^{n-1}=\begin{cases} r\cdot (r^6)^{n-1}&(n=2k-1)\\ r^4\cdot(r^6)^{n-1}&(n=2k)\end{cases} \quad$(단, $k\ge 1$$k\ge 1$인 자연수)

  • $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|a_{3n-1}|=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}-r\cdot (r^6{)}^{n-1}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{r}^4(r^6{)}^{n-1}$$\sum\limits_{n=1}^{\infty} |a_{3n-1}| =\sum\limits_{n=1}^{\infty} -r\cdot (r^6)^{n-1} +\sum\limits_{n=1}^{\infty} r^4(r^6)^{n-1}$

    계산해서 정리하면,

    $-\frac{r}{1+r^3}$$-\cfrac r{1+r^3}$

  $\therefore 20\frac{r}{1-r^2}-21\frac{r}{1+r^3}=0$$\therefore~ 20\cfrac r{1-r^2} -21\cfrac r{1+r^3}=0$

  정리해서 조건에 맞는 $r$$r$의 값을 구하면, $r=-\frac{1}{4}$$r=-\cfrac 14$

  $\therefore a_n=(-\frac{1}{4}{)}^{n-1}$$\therefore~ a_n=(-\cfrac 14)^{n-1}$

ii. 접근

• $a_n=(-\frac{1}{4}{)}^{n-1}{b}_n=b{r}^{n-1}$$a_n=(-\cfrac 14)^{n-1}\quad b_n=br^{n-1}$이라 하자.

• $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{3|a_n|+b_n}{a_n}$$\sum\limits_{ n=1}^{\infty} \cfrac {3|a_n| +b_n}{a_n}$이 수렴한다.

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3|a_n|+b_n}{a_n}=0$$\lim\limits_{n\to\infty} \cfrac {3|a_n|+b_n}{a_n}=0$

  계산을 하면,

  $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}3(-1{)}^{n-1}+b(-4r{)}^{n-1}=0$$\lim\limits_{n\to\infty} 3(-1)^{n-1} +b(-4r)^{n-1}=0$

  등식이 성립하기 위해서는, $b=-3$$b=-3$이고 $r=\frac{1}{4}$$r=\cfrac 14$이면 된다.

$\therefore b_n=-3(\frac{1}{4}{)}^{n-1}$$\therefore~ b_n=-3(\cfrac 14)^{n-1}$

$\therefore b_1\times \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n=12$$\therefore~ b_1\times \sum\limits_{ n=1}^{\infty} b_n=12$