2024년 05월 15번

15. 첫째항이 자연수인 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$$n$이 대하여 $\begin{array}{c}{a}_{n+1}=\{\begin{array}{ll}\frac{a_n}{3}& (a_n\text{이}3\text{의 배수인 경우})\\ \frac{a_n^2+5}{3}& (a_n\text{이}3\text{의 배수가 아닌 경우})\end{array}\end{array}$$a_{n+1} =\begin{cases} \cfrac{a_n}3 &(a_n\text{이}~3\text{의 배수인 경우})\\ \cfrac{a_n^2 +5}3 &(a_n\text{이}~3\text{의 배수가 아닌 경우})\end{cases}$를 만족시킬 때, $a_4+a_5=5$$a_4+a_5=5$가 되도록 하는 모든 $a_1$$a_1$의 값의 합을 구하시오.

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i. 생각

• $a_n$$a_n$을 살펴보자.

  $a_n$$a_n$이 $3$$3$의 배수이면 당연히 자연수

  $a_n$$a_n$이 $3$$3$의 배수가 아니면?

  $\begin{array}{c}⟶\begin{array}{rl}\frac{(3k\pm 1{)}^2+5}{3}& =\frac{9k^2\pm 6k+6}{3}\\ & =3k^2+2k+2\end{array}(k\in \mathbb{N})\end{array}$$\longrightarrow\quad \begin{aligned} \cfrac {(3k\pm1)^2+5}3 &=\cfrac {9k^2 \pm 6k+6}{3}\\ &= 3k^2 +2k+2\end{aligned} \quad (k\in\mathbb N)$

  자연수다....어?

• 그럼 $a_4,a_5$$a_4,~a_5$도 당연히 자연수다!!! 그럼 가능한 순서쌍 $(a_4,a_5)$$(a_4,~a_5)$는?

  $(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)$$(1,~4),~(2,~3),~(3,~2),~(4,~1)$

  이제...열심히 수형도 그리기... ㅜ.ㅜ

ii. 풀자

• $a_4=1⟶a_5=2$$a_4=1\quad \longrightarrow \quad a_5=2$ 땡!

• $a_4=2⟶a_5=3$$a_4=2\quad \longrightarrow \quad a_5=3$ 가능!

• $a_4=3⟶a_5=1$$a_4=3\quad \longrightarrow \quad a_5=1$ 땡!

• $a_4=4⟶a_5=7$$a_4=4\quad \longrightarrow \quad a_5=7$ 땡!

오!!! 한가지만 생각하면 되네? 왠일이지???

iii. 차근차근 거꾸로 거슬러 올라가자!

뭐 단순 계산이니까 생략하고...

$\therefore 54+7+9+2=72$$\therefore~ 54+7+9+2=72$