2024년 03월 22번

22. 함수 $f(x)=|x^3-3x+8|$$f(x)=|x^3 -3x +8|$과 실수 $t$$t$에 대하여 닫힌구간 $[t,t+2]$$[t,~t+2]$에서의 $f(x)$$f(x)$의 최댓값을 $g(t)$$g(t)$라 하자. 서로 다른 두 실수 $\alpha ,\beta$$\alpha,~\beta$에 대하여 함수 $g(t)$$g(t)$는 $t=\alpha ,t=\beta$$t=\alpha,~t=\beta$에서만 미분가능하지 않다. $\alpha \beta =m+n\sqrt{6}$$\alpha\beta=m+n\sqrt 6$일 때, $m+n$$m+n$의 값을 구하시오. (단, $m,n$$m,~n$은 정수이다.)

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i. 우선 할 수 있는 걸 하자.

• $y=f(x)$$y=f(x)$의 그래프를 그리자.

  $h(x)=x^3-3x+8$$h(x)=x^3 -3x+8$

  $h^{\prime }(x)=3x^2-3$$h'(x)=3x^2 -3$

  $h(-1)=10,h(1)=6$$h(-1)=10,~h(1)=6$

  

  이제 절댓값을 생각하면

  

• $g(t)$$g(t)$를 구하기 위해 손가락을 가지고 잘 그려보면서 특이점을 찾도록 하자.

  

ii. $g(t)$$g(t)$의 값이 변하는 지점들

• 첫번째 경우

  

  • $t+2<-1$$t+2<-1$일 때, $g(t)=f(t)$$g(t)=f(t)$

    $t<-3$$t<-3$일 때, $g(t)=f(t)$$g(t)=f(t)$

  • $-3\le t<-1$$-3\le t<-1$일 때, $g(t)=10$$g(t)=10$

    $t=-3$$t=-3$일 때부터 다음 구간까지의 최댓값은 극댓값으로 고정이 된다.

• 두번째의 경우

  

  • $-1<t<\alpha$$-1<t<\alpha$일 때, $g(t)=f(t)$$g(t)=f(t)$

    $\alpha$$\alpha$는 $f(t)=f(t+2)$$f(t)=f(t+2)$가 되는 지점이고 그 순간을 기점으로 $g(t)$$g(t)$의 함수값이 바뀔 것이다.

• $\alpha$$\alpha$가 발생하는 지점

  

  우선 $f(t)=f(t+2)$$f(t)=f(t+2)$를 풀자. (계산을 생략하면~!)

  $t=\frac{-3\pm \sqrt{6}}{3}$$t=\cfrac {-3\pm \sqrt 6}3$

  이 두근이 의미하는 것을 그래프 상으로 따져보면,

  

  두 경우를 나타내는데 이 문제에서는 $t=\frac{-3+\sqrt{6}}{3}$$t=\cfrac {-3+\sqrt 6}3$임을 알 수 있다.

iii. $g(t)$$g(t)$를 정리하자.

$\begin{array}{c}g(t)=\{\begin{array}{ll}f(t)& (t<-3)\\ 10& (-3\le t<-1)\\ f(t)& (-1\le t<\frac{-3+\sqrt{6}}{3})\\ f(t+2)& (\frac{-3+\sqrt{6}}{3}\le t)\end{array}\end{array}$$g(t)=\begin{cases} f(t)&(t<-3)\\ 10&(-3\le t<-1)\\ f(t)&(-1\le t<\cfrac{-3+\sqrt 6}3 )\\ f(t+2)&(\cfrac {-3+\sqrt 6}{3}\le t)\end{cases}$

자! 이제 미분 불가능한 지점 두곳을 찾아야한다. 어딜까?

• $y=g(t)$$y=g(t)$를 생각해보면, $t<-3$$t<-3$까지는 $f(t)$$f(t)$의 그래프를 따라오다가 갑자기 $t=-3$$t=-3$에서 $f(-1)$$f(-1)$의 값으로 뛰어넘어간다. 즉, 의심할 수 있는 점은 우선 $t=-3$$t=-3$일 때이다.

• 그 다음에는 $t=\frac{-3+\sqrt{6}}{3}$$t=\cfrac{-3+\sqrt 6}3$일 때, $g(t)$$g(t)$는 갑자기 $f(t)$$f(t)$를 따라오다가 $f(t+2)$$f(t+2)$로 함수의 값이 튀어버린다.

• 이 두 지점을 제외하면 함수는 상당히 매끄럽다.....(좀 애매한 말이지만...뭐 미분가능하잖아?)

$\therefore \alpha =-3,\beta =\frac{-3+\sqrt{6}}{3}$$\therefore~ \alpha=-3,~\beta=\cfrac {-3+\sqrt 6}3$임을 유추할 수 있다.

$\therefore \alpha \beta =3-\sqrt{6}$$\therefore~ \alpha \beta=3-\sqrt 6$

$\therefore m+n=2$$\therefore~ m+n=2$