2024년 03월 21번

21. $a>2$$a>2$인 실수 $a$$a$에 대하여 기울기가 $-1$$-1$인 직선이 두 곡선 $y=a^x+2,y={\log }_{a}x+2$$y=a^x +2,\quad y=\log_a x+2$와 만나는 점을 각각 $A,B$$A,~B$라 하자. 선분 $AB$$AB$를 지름으로 하는 원의 중심의 $y$$y$좌표가 $\frac{19}{2}$$\cfrac{19}2$이고 넓이가 $\frac{121}{2}\pi$$\cfrac {121}2\pi$일 때, $a^2$$a^2$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• 역함수 관계인가?

  시벌..아니네

  $a$$a$값에 따라서 두 그래프이 교점이 생겼다 말았다 하겠네...

• 그래도 대충 그려보자.

  

  오호..만날 일이 없구나;;;;

  어? 그런데!!! 두 함수를 살펴보니 $y=a^x,y={\log }_{a}x$$y=a^x,~y=\log_a x$의 함수를 $y$$y$축으로 $2$$2$만큼 이동시킨 그래프이다!

  그렇다면, $y=x+k$$y=x+k$에 대해 대칭임을 알 수 있다...다만 $k=2$$k=2$​일 것이고!

  아니 그러면 둘다 $y$$y$축으로 $-2$$-2$만큼 이동시킨 후에 계산하면 $a$$a$값을 구하기 쉽겠네?

ii. 항상 그렇듯이 할 수 있는 것을 하자!

• 우선 반지름을 구하자!

  $\pi r^2=\frac{121}{2}\pi$$\pi r^2 =\cfrac {121}2\pi$

  $\therefore r=\frac{11}{2}\sqrt{2}$$\therefore~ r=\cfrac {11}2\sqrt 2$

  • 기울기가 $-1$$-1$인 직선과의 교점이 $A,B$$A,~B$이고 $\overline{AB}$$\overline{AB}$를 지름으로 하는 원의 중심을 $C$$C$라 하고 $y$$y$축으로 $-2$$-2$만큼 이동한 점을 $C^{\prime }$$C'$이라 하면, $(\alpha ,\frac{15}{2})$$(\alpha,~\cfrac {15}2)$라고 할 수 있다.

어?

을 이용하자.

$\sqrt{2}b=r=\frac{11}{2}\sqrt{2}$$\sqrt 2 b =r=\cfrac {11}2 \sqrt 2$

$\therefore b=\frac{11}{2}$$\therefore~ b=\cfrac {11}2$​

그리고, $C^{\prime }$$C'$은 당연히 $y=x$$y=x$의 위에 있다!!

$\therefore C^{\prime }(\frac{15}{2},\frac{15}{2})$$\therefore~ C'(\cfrac {15}2,~\cfrac {15}2)$

이를 토대로 $A^{\prime }$$A'$의 좌표를 구하면,

$A^{\prime }(\frac{15}{2}-\frac{11}{2},\frac{15}{2}+\frac{11}{2})$$A'(\cfrac {15}2-\cfrac {11}2,~\cfrac{15}2+\cfrac {11}2)$

$\therefore A^{\prime }(2,13)$$\therefore~ A'(2,~13)$

• $A^{\prime }$$A'$은 $y=a^x$$y=a^x$ 위에 있다!

  $13=a^2$$13=a^2$

$\therefore a^2=13$$\therefore~ a^2=13$