2024년 03월 20번

20. 두 함수 $f(x)=2x^2+2x-1,g(x)=\cos \frac{\pi }{3}x$$f(x)=2x^2 +2x-1,~g(x)=\cos \cfrac {\pi}3 x$에 대하여 $0\le x<12$$0\le x<12$에서 방정식 $f(g(x))=g(x)$$f(g(x))=g(x)$를 만족시키는 모든 실수 $x$$x$의 값의 합을 구하시오.

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i. 정리

• $g(x)$$g(x)$에 대하여

  주기 : $\frac{\pi }{3}p=2\pi ⟶p=6$$\cfrac {\pi}3 p=2\pi\quad \longrightarrow \quad p=6$

  $-1\le g(x)\le 1$$-1\le g(x)\le 1$

• 합성함수 문제네? 그릴까?

  어..근데 그려서 근을 구할라니....오우...이건 아니야...

ii. 치환을 이용하자

• $g(x)=t$$g(x)=t$라 하면,

  $f(t)=t$$f(t)=t$를 풀자.

  계산을 하면, $t=\frac{1}{2},-1$$t=\cfrac 12,~-1$

• $\begin{array}{c}g(x)=\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}\\ -1\end{array}\end{array}$$g(x)=\begin{cases} \cfrac 12 \\ -1 \end{cases}$를 풀면 된다!

iii. 풀자.

• $y=g(x)$$y=g(x)$의 그래플 그리자

  

  • $g(x)=-1$$g(x)=-1$의 근은 $x=3,9$$x=3,~9$

  • $g(x)=\frac{1}{2}$$g(x)=\cfrac 12$의 근을 구하자.

    어차피 합이 필요하니까!!!

    삼각함수의 대칭성을 이용하자!

    가장 작은 근을 $x=\alpha (\alpha <3)$$x=\alpha~(\alpha<3)$라 하면, 큰의 크기는 순서대로,

    $x=\alpha ,6-\alpha ,6+\alpha ,12-\alpha$$x=\alpha,~6-\alpha,~6+\alpha,~12-\alpha$

모든 근의 합을 구하면,

$\therefore 3+9+\alpha +6-\alpha +6+\alpha +12+\alpha =36$$\therefore~ 3+9+\alpha+6-\alpha +6+\alpha +12+\alpha=36$