2024학년도 09월 21번

21. 모든 항이 자연수인 등차수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$의 첫째항부터 제$n$$n$항까지의 합을 $S_n$$S_n$이라 하자. $a_7$$a_7$이 $13$$13$의 배수이고 $\sum _{k=1}^7{S}_k=644$$\sum\limits_{k=1}^7 S_k=644$ㅇ일 때, $a_2$$a_2$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• $\{a_n\}$$\{a_n\}$은 등차수열이다.

  $a,a+d,a+2d,\cdots ,a+6d$$a,~a+d,~a+2d,~\cdots ,~a+6d$

  $a_1=a$$a_1=a$이고 공차를 $d$$d$라 하자.

• $S_n$$S_n$을 구하면,

  $S_1=a$$S_1=a$

  $S_2=2a+d$$S_2=2a+d$

  $S_3=3a+3d$$S_3=3a+3d$

  $S_4=4a+6d$$S_4=4a+6d$

  $S_5=5a+10d$$S_5=5a+10d$

  $S_6=6a+15d$$S_6=6a +15d$

  $S_7=7a+21d$$S_7=7a+21d$

  $\therefore \sum _{k=1}^7{S}_k=28(a+2d)=644$$\therefore~ \sum\limits_{k=1}^7 S_k=28(a+2d)=644$

  $\therefore a+2d=23$$\therefore~ a+2d=23$

• $a_7$$a_7$은 $13$$13$의 배수이다.

  $a_7=a+6d=13k(k\in \mathbb{N})$$a_7=a+6d=13k\quad (k\in\mathbb N)$

ii. 풀자

구한 조건을 연립하자.

$\{\begin{array}{l}a+2d=23\\ a+6d=13k\end{array}$$\begin{cases} a+2d=23\\ a+6d=13k\end{cases}$

$4d=13k-23$$4d=13k-23$

$d=\frac{13k-23}{4}\in \mathbb{N}$$d=\cfrac {13k-23}4\in \mathbb N$

부정방정식이니까...조건이 좀 더 필요한데.....$a_n$$a_n$은 자연수.....

주어진 식을 $a$$a$에 대해 정리하면,

$a=23-2d=23-\frac{13k-23}{2}=\frac{69-13k}{2}>0$$a=23-2d=23-\cfrac {13k-23}2=\cfrac {69-13k}{2}>0$

이를 풀면, $0<k<\frac{69}{13}$$0<k<\cfrac {69}{13}$

$0<k\le 5$$0<k\le 5$

대입하자....제길...

• $k=5$$k=5$이면,

  $d=\frac{65-23}{4}\notin \mathbb{N}$$d=\cfrac {65-23}4\notin \mathbb N$

• $k=4$$k=4$이면,

  $d=\frac{52-23}{4}\notin \mathbb{N}$$d=\cfrac{52-23}4\notin\mathbb N$

• $k=3$$k=3$이면,

  $d=\frac{39-23}{4}=4$$d=\cfrac {39-23}4=4$

$\therefore k=3,d=4$$\therefore~ k=3, d=4$

$a+2d=a+8=23⟶a=15$$a+2d=a+8=23\quad \longrightarrow \quad a=15$

$\therefore a_2=a+d=19$$\therefore~ a_2=a+d=19$