2023년 07월 20번

20. 실수 $t(\sqrt{3}<t<\frac{13}{4})$$t\Big(\sqrt 3<t<\cfrac {13}4\Big)$에 대하여 두 함수 $f(x)=|x^2-3|-2x,g(x)=-x+t$$f(x)=|x^2 -3|-2x,~g(x)=-x+t$의 그래프가 만나는 서로 다른 네 점의 $x$$x$ 좌표를 작은 수부터 크기순으로 $x_1,x_2,x_3,x_4$$x_1,~x_2,~x_3,~x_4$라 하자. $x_4-x_1=5$$x_4-x_1=5$일 때, 닫힌 구간 $[x_3,x_4]$$[x_3,~x_4]$에서 두 함수 $y=f(x),y=g(x)$$y=f(x),~y=g(x)$의 그래프로 둘라싸인 부분의 넓이는 $p-q\sqrt{3}$$p-q\sqrt 3$이다. $p\times q$$p\times q$의 값을 구하시오. (단, $p,q$$p,~q$는 유리수이다.)

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i. 생각

• $t$$t$를 우선 구해야 할 것이다?

  

  오호 직선을 그어보니 $x_1,x_4$$x_1,~x_4$는 $|x^2-3|\ge 0$$|x^2-3|\ge 0$인 구간에서 생긴다!!

  그럼 $t$$t$의 값을 구할 수 있다.

  어? 그럼 나머지도 다 구해진다...뭐지 왜 푼 거지..

ii. 계산

• $t$$t$를 구하자.

  $|x^2-3|-2=-x+t(x^2-3\ge 0)$$|x^2 -3|-2=-x+t\quad (x^2 -3\ge 0)$

  $x^2-x-3-t=0$$x^2 -x-3-t=0$

  그리고 이 두 실근의 차가 $5$$5$이다.

  서로 다른 두 실근을 $\alpha <\beta$$\alpha <\beta$ 라 하면,

  $\alpha +\beta =1,\alpha \beta =-3-t$$\alpha +\beta=1,~\alpha\beta=-3-t$

  $|\beta -\alpha |=5$$|\beta-\alpha |=5$

  $(\beta -\alpha {)}^2=(\alpha +\beta {)}^2-4\alpha \beta$$(\beta-\alpha)^2 =(\alpha +\beta)^2 -4\alpha\beta$를 이용하여 $t$$t$를 구하면, $t=3$$t=3$

• $x_2,x_3$$x_2,~x_3$을 구하자.

  $|x^2-3|-x=-x+3(x^2-3<0)$$|x^2 -3|-x=-x+3\quad (x^2-3<0)$

  $x=0,3$$x=0,~3$

$\therefore x_1=-2,x_2=0,x_3=3,x_4=3$$\therefore~ x_1=-2,~x_2=0,~x_3=3,~x_4=3$

iii. 마지막 계산

$\begin{array}{rl}{\int }_0^3|f(x)-g(x)|dx& ={\int }_0^{\sqrt{3}}(g(x)-f(x))dx+{\int }_{\sqrt{3}}^3(g(x)-f(x))dx\end{array}$$\begin{aligned}\int_0^3|f(x)-g(x)|dx &= \int_0^{\sqrt 3} (g(x)-f(x))dx +\int_{\sqrt 3}^3(g(x)-f(x))dx \end{aligned}$

계산 생략하면...

$\therefore \begin{array}{r}{\int }_0^3|f(x)-g(x)|dx=\frac{27}{2}-4\sqrt{3}\end{array}$$\therefore~ \begin{aligned} \int_0^3|f(x)-g(x)|dx =\cfrac {27}2 -4\sqrt 3\end{aligned}$

$\therefore p\times q=54$$\therefore~ p\times q= 54$