2023년 05월 22번

22. 두 상수 $a,b(b\ne 1)$$a,~b(b\neq 1)$과 이차함수 $f(x)$$f(x)$에 대하여 함수 $g(x)$$g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 $g(x)$$g(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능하고, 도함수 $g^{\prime }(x)$$g'(x)$는 실수 전체의 집합에서 미분가능이다.

(나) $|x|<2$$|x|<2$일 때, $g(x)=\begin{array}{r}{\int }_0^x(-t+a)dt\end{array}$$g(x)=\begin{aligned} \int_0^x (-t+a)dt\end{aligned}$이고 $|x|\ge 2$$|x|\ge 2$일 때, $|g^{\prime }(x)|=f(x)$$|g'(x)|=f(x)$이다.

(다) 함수 $g(x)$$g(x)$는 $x=1,x=b$$x=1,~x=b$에서 극값을 갖는다.

$g(k)=0$$g(k)=0$을 만족시키는 모든 실수 $k$$k$의 값의 합이 $p+q\sqrt{3}$$p+q\sqrt 3$일 때, $p\times q$$p\times q$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $-2<x<2$$-2<x<2$일 때,

  $g^{\prime }(x)=-x+a$$g'(x)=-x+a$

  $g(0)=0$$g(0)=0$

  그리고 $x=1$$x=1$이 범위에 포함되어 있으니, $g^{\prime }(1)=0$$g'(1)=0$

  어? $a=1$$a=1$이다.

  $\therefore g^{\prime }(x)=-x+1(-2<x<2)$$\therefore~ g'(x)=-x+1\quad (-2<x<2)$

• $|x|\ge 2$$|x|\ge 2$일 때,

  • $|g^{\prime }(x)|=f(x)$$|g'(x)|=f(x)$

    음...$|g^{\prime }(x)|\ge 0$$|g'(x)|\ge 0$이니까 $f(x)\ge 0$$f(x)\ge 0$

    어랏???

    $f(x)=k(x-m{)}^2$$f(x)=k(x-m)^2$의 개형일 것이고...

  흠...그래프의 개형을 대충 그려보고 다시 생각하자.

이미 $x=1$$x=1$에서 극값이 하나 발생했고... 주어진 조건 $|g^{\prime }(x)|=f(x)$$|g'(x)|=f(x)$와 $f(x)$$f(x)$의 개형을 생각하면,

$y=f(x)$$y=f(x)$는 두 점 $(-2,3),(2,1)$$(-2,~3),~(2,~1)$을 지나야 한다!

대입해서 풀면, $f(x)=\frac{1}{4(1+\sqrt{3}{)}^2}(x-4-2\sqrt{3}{)}^2$$f(x)=\cfrac 1{4(1+\sqrt 3)^2} (x-4-2\sqrt 3)^2$

ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ

시발....더럽다...

아무튼 대충 그리고 마저 생각하자...

흠...여기서 $g^{\prime }(x)$$g'(x)$의 개형을 유추하면,

다 풀었네...

우선 $g(0)=0$$g(0)=0$임을 알고 있다.

$g(x)=0$$g(x)=0$이 되는 값은 당연히 $x=2$$x=2$일 때 처음으로 발생할 것이다. 왜냐고? $\begin{array}{rl}g(x)& ={\int }_0^x{g}^{\prime }(x)dx\end{array}$$\begin{aligned} g(x)&=\int_0^x g'(x)dx\end{aligned}$잖아.

즉, $x=0$$x=0$부터 적분한 값이 $0$$0$이 되는 값을 찾으면 되는 것이니까!

두번째는 $y=f(x)$$y=f(x)$의 꼭짓점으로부터 유추가 가능하겠다.

• 꼭짓점으로부터 $2$$2$까지의 거리= 꼭짓점으로부터 다음 $g(x)=0$$g(x)=0$이 되는 점까지의 거리

  $(4+2\sqrt{3})-2=k-(4+2\sqrt{3})$$(4+2\sqrt 3 )-2= k-(4+2\sqrt 3)$

  $\therefore k=6+4\sqrt{3}$$\therefore~ k=6+4\sqrt 3$

$\therefore 8+4\sqrt{3}$$\therefore~ 8+4\sqrt 3$

$\therefore p\times q=32$$\therefore~ p\times q=32$