2023학년도 09월 미적분 29번

29. 함수 $f(x)=e^x+x$$f(x)=e^x+x$가 있다. 양수 $t$$t$에 대하여 점 $(t,0)$$(t,~0)$과 점 $(x,f(x))$$(x,~f(x))$ 사이의 거리가 $x=s$$x=s$에서 최소일 때, 실수 $f(s)$$f(s)$의 값을 $g(t)$$g(t)$라 하자. 함수 $g(t)$$g(t)$의 역함수를 $h(t)$$h(t)$라 할 때, $h^{\prime }(1)$$h'(1)$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $(t,0)$$(t,~0)$을 기준으로 구하려고 생각하면, 중심이 $(t,0)$$(t,~0)$이고 반지름이 $r$$r$인 원이 $y=f(x)$$y=f(x)$와 접할 때를........때려치자..

• $y=f(x)$$y=f(x)$위의 점 $(\alpha ,f(\alpha )$$(\alpha,~f(\alpha)$를 지나고 기울기가 $-\frac{1}{f^{\prime }(\alpha )}$$-\cfrac 1{f'(\alpha)}$인 직선이 $x$$x$ 축과 만나는 점을 $(t,0)$$(t,~0)$이라 하자.

  오..이건 좀 그나마 계산이 편하겠네..? $\alpha$$\alpha$가 아니라 바로 그냥 $s$$s$가 되는 것이고..

ii. 계산

• $f^{\prime }(x)=e^x+1$$f'(x)=e^x +1$

• $y=-\frac{1}{e^s+1}(x-s)+e^s+s$$y=-\cfrac 1{e^s+1} (x-s)+e^s+s$

  이 직선이 $x$$x$축과 만나는 점을 구하면 된다.

  계산하면,

  $t=(e^s+s)(e^s+1)+s$$t=(e^s +s)(e^s+1)+s$

  그리고 조건에 따라, $g(t)=f(s)$$g(t)=f(s)$

• $h(g(t))=t$$h(g(t))=t$에서 $h^{\prime }(1)$$h'(1)$을 유도하자.

  $h^{\prime }(g(t))=\frac{1}{g^{\prime }(t)}$$h'(g(t))=\cfrac 1{g'(t)}$

  $g(t)=1$$g(t)=1$이 되는 $t$$t$값을 찾으면 된다.

  $g(t)=f(s)=1$$g(t)=f(s)=1$을 이용하면,

  $e^s+s=1\to s=0$$e^s +s=1\quad \rightarrow \quad s=0$

  $t=(e^s+s)(e^s+1)+s$$t=(e^s +s)(e^s+1)+s$ 의 관계식을 이용하면, $t=2$$t=2$

  $\therefore h^{\prime }(g(2))=h^{\prime }(1)=\frac{1}{g^{\prime }(2)}$$\therefore~ h'(g(2))=h'(1)=\cfrac 1{g'(2)}$

• $g^{\prime }(2)$$g'(2)$를 구하자.

  $g(t)=f(s)$$g(t)=f(s)$를 미분하면,

  $g^{\prime }(t)dt=f^{\prime }(s)ds$$g'(t)dt=f'(s)ds$

  $g^{\prime }(t)=f^{\prime }(s)\frac{ds}{dt}$$g'(t)=f'(s)\cfrac {ds}{dt}$

  $t=(e^s+s)(e^s+1)+s$$t=(e^s +s)(e^s+1)+s$에서 $\frac{ds}{dt}$$\cfrac {ds}{dt}$를 구하면,

  $⟶((e^s+1{)}^2+(e^s+s)e^s+1)\frac{ds}{dt}=1$$\longrightarrow \quad \Big((e^s+1)^2+(e^s+s)e^s+1\Big)\cfrac {ds}{dt} =1$

  $g^{\prime }(2)=f^{\prime }(0)\times \frac{ds}{dt}{|}_{s=0}$$g'(2)=f'(0)\times \cfrac {ds}{dt}\big|_{s=0}$을 계산하면,

  $g^{\prime }(2)=2\times \frac{1}{6}=\frac{1}{3}$$g'(2)=2\times \cfrac 16 =\cfrac 13$

$\therefore h^{\prime }(1)=3$$\therefore~ h'(1)=3$