2019년 03월 나형 30번

30. 자연수 $n$$n$에 대하여 다음 조건을 만족시키는 정사각형의 개수를 $S_n$$S_n$이라 하자.

(가) 정사각형은 모두 한 변의 길이가 $1$$1$이고 꼭짓점의 $x$$x$ 좌표와 $y$$y$ 좌표가 모두 정수이다.

(나) 연립부등식 $\frac{1}{2}{x}^2<y^2<x^2,0<x<2n-1$$\cfrac 12 x^2 <y^2 <x^2,~0<x<2n-1$을 만족시키는 점 $(x,y)$$(x,~y)$ 중에는 정사각형 내부에 있는 점이 있다.

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{S_{n+1}-S_n}{n^2}$$\lim\limits_{ n\to \infty} \cfrac {S_{n+1}-S_n}{n^2}$의 값을 구하시오.

---

i. 생각

• 당연히 그리고 생각해야지?

  

  그래프를 토대로 생각하면,

  $S_{n+1}-S_n$$S_{n+1}-S_n$은 $x=2n,2n+1$$x=2n,~2n+1$일 때의 정사각형의 개수이다.

• 계산하자.

  • $x=2n+1$$x=2n+1$일 때,

    위로는 $(2n+1{)}^2$$(2n+1)^2$

    아래로는 $\frac{1}{2}(2n{)}^2$$\cfrac 12(2n)^2$까지 가능할 것이다.

    $(2n+1{)}^2-\frac{1}{2}(2n{)}^2=2n^2+4n+1$$(2n+1)^2 -\cfrac 12 (2n)^2 =2n^2+4n+1$

  • $x=2n$$x=2n$일 때,

    마찬가지로

    $(2n{)}^2-\frac{1}{2}(2n-1{)}^2=2n^2+2n-\frac{1}{2}$$(2n)^2 -\cfrac 12 (2n-1)^2=2n^2 +2n -\cfrac 12$

    그런데, 격자점으로 정사각형을 만들어야 하니 $2n^2+2n-\frac{1}{2}$$2n^2 +2n-\cfrac 12$보다 큰 가까운 정수일 것이다.

    $\therefore 2n^2+2n$$\therefore~ 2n^2 +2n$

  $\therefore S_{n+1}-S_n=4n^2+6n+1$$\therefore~ S_{n+1}-S_n=4n^2 +6n+1$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{S_{n+1}-S_n}{n^2}=4$$\lim\limits_{ n\to \infty } \cfrac {S_{n+1}-S_n}{n^2}=4$