2019학년도 09월 나형 21번

21. 사차함수 $f(x)=x^4 +ax^2 +b$에 대하여 $x\ge 0$에서 정의된 함수

가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $0<x<1$에서 $g(x)=c_1$ ($c_1$은 상수)

(나) $1<x<5$에서 $g(x)$는 감소한다.

(다) $5<x$에서 $g(x)=c_2$ ($c_2$는 상수)

$f(\sqrt 2)$의 값을 구하시오. (단, $a,~b$는 상수이다.)

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i. 정리

뭐 딱히...

ii. 생각

• $y=f(x)$는 $y$축 대칭인 함수이다.

• $h(x)=f(x)-|f(x)|$라 하면,

  $h(x)=\begin{cases} 2f(x)&(f(x)<0)\\ \\ 0&(f(x)\ge 0)\end{cases}$

  어?

• 함수의 개형을 생각하자.

  

  이런 경우에 그나마 뭔가 나올 경우는 다음의 경우일 때이다.

  

  그런데, 조건을 만족시킬 수 없다!

• 일반적인 함수개형일 때를 알아보자.

  

  다음의 경우일 때에 조건을 만족시킬 수 있음을 알 수 있다.

  

  어? 풀렸다.

  $y=2f(x)$의 양의 근만을 생각해보자.

  조건 (가)에 따르면 $x=2$에서 근을 가져야 한다!

  두번째 근은 $x=5$일까 $x=10$일까?

  $x=5$일 때 모든 조건을 만족시킨다!

  $\therefore~ f(x)=(x-2)(x+2)(x-5)(x+5)$

  $\therefore~ f(x)=(x^2 -4)(x^2 -25)$

$\therefore~ f(\sqrt 2)= -2\times -23=46$