2025학년도 09월 22번

22. 양수 $k$$k$에 대하여 $a_1=k$$a_1=k$인 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $a_2\times a_3<0$$a_2\times a_3<0$

(나) 모든 자연수 $n$$n$에 대하여 $(a_{n+1}-a_n+\frac{2}{3}k)(a_{n+1}+k{a}_n)=0$$\Big(a_{n+1}-a_n+\cfrac 23k\Big)(a_{n+1}+ka_n)=0$이다.

$a_5=0$$a_5=0$이 되도록 하는 서로 다른 모든 양수 $k$$k$에 대하여 $k^2$$k^2$의 값의 합을 구하시오.

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i. 정리

• $\begin{array}{c}{a}_{n+1}=\{\begin{array}{l}{a}_n-\frac{2}{3}k\\ -k{a}_n\end{array}\end{array}$$a_{n+1} =\begin{cases} a_n-\cfrac 23 k\\ -ka_n\end{cases}$

• $a_1=k,a_5=0$$a_1=k,~a_5=0$

$a_5=0$$a_5=0$을 기준으로 접근을 시작하는 것이 편할 거 같다.

ii. $a_5=0$$a_5=0$에서 시작하자.

• $\begin{array}{c}{a}_5=0=\{\begin{array}{l}{a}_4-\frac{2}{3}k\\ -k{a}_4\end{array}\end{array}$$a_5=0=\begin{cases} a_4-\cfrac 23 k \\ -ka_4\end{cases}$

  $a_4=\frac{2}{3}k$$a_4=\cfrac 23k$ 또는 $a_4=0$$a_4=0$

  계산이 쉬운 $a_4=0$$a_4=0$부터 접근하자.

  i. $a_4=0$$a_4=0$

  $a_3=\frac{2}{3}k$$a_3=\cfrac 23 k$ 또는 $a_3=0$$a_3=0$

  그런데 $a_3\ne 0$$a_3\neq 0$이다. ($\because$$\because$조건 가)

  $\therefore a_3=\frac{2}{3}k$$\therefore~ a_3=\cfrac 23k$

  이를 이용해서 $a_2$$a_2$를 구하면,

  $a_2=\frac{4}{3}k$$a_2 =\cfrac 43k$ 또는 $a_2=-\frac{2}{3}$$a_2=-\cfrac 23$

  그런데 $k>0$$k>0$이고 조건 가에 의해서 $a_2=-\frac{2}{3}$$a_2=-\cfrac 23$

  $\begin{array}{c}{a}_2=-\frac{2}{3}=\{\begin{array}{l}{a}_1-\frac{2}{3}k\\ -k{a}_1\end{array}\end{array}$$a_2=-\cfrac 23= \begin{cases} a_1-\cfrac 23 k \\ -ka_1\end{cases}$

  $a_1=k$$a_1=k$을 이용하면,

  $k=-2$$k=-2$ 또는 $k^2=\frac{2}{3}$$k^2=\cfrac 23$ $(k=\sqrt{\frac{2}{3}})$$\Big(k=\sqrt{\cfrac 23}\Big)$

  $k>0$$k>0$이므로 $k=\sqrt{\frac{2}{3}}$$k=\sqrt{\cfrac 23}$

  ii. $a_4=\frac{2}{3}k$$a_4=\cfrac 23k$일 때,

  $\begin{array}{c}{a}_4=\frac{2}{3}k=\{\begin{array}{l}{a}_3-\frac{2}{3}k\\ -k{a}_3\end{array}\end{array}$$a_4=\cfrac 23k =\begin{cases} a_3-\cfrac 23k \\ -ka_3\end{cases}$

  $a_3=\frac{4}{3}k$$a_3=\cfrac 43k$ 또는 $a_3=-\frac{2}{3}$$a_3=-\cfrac 23$

  아오...또 경우를 나눠야 한다....

  i. $a_3=\frac{4}{3}k$$a_3=\cfrac 43k$일 때,

  $\begin{array}{c}{a}_3=\frac{4}{3}k=\{\begin{array}{l}{a}_2-\frac{2}{3}k\\ -k{a}_2\end{array}\end{array}$$a_3=\cfrac 43k =\begin{cases} a_2-\cfrac 23k\\ -ka_2\end{cases}$

  $a_2=2k$$a_2=2k$ 또는 $a_2=-\frac{4}{3}$$a_2=-\cfrac 43$

  조건 가에 의하여 $a_2=-\frac{4}{3}$$a_2=-\cfrac 43$

  $\begin{array}{c}{a}_2=-\frac{4}{3}=\{\begin{array}{l}{a}_1-\frac{2}{3}k\\ -k{a}_1\end{array}\end{array}$$a_2=-\cfrac 43=\begin{cases} a_1-\cfrac 23k\\ -ka_1\end{cases}$

  $a_1=k$$a_1=k$를 대입하면,

  $k=-4$$k=-4$ 또는 $k^2=\frac{4}{3}$$k^2 =\cfrac 43$

  $k>0$$k>0$이므로 $k=\frac{2}{\sqrt{3}}$$k=\cfrac 2{\sqrt 3}$

  ii. $a_3=-\frac{2}{3}$$a_3=-\cfrac 23$일 때,

  $\begin{array}{c}{a}_3=-\frac{2}{3}=\{\begin{array}{l}{a}_2-\frac{2}{3}k\\ -k{a}_2\end{array}\end{array}$$a_3=-\cfrac 23 =\begin{cases} a_2-\cfrac 23 k\\ -ka_2\end{cases}$

  $a_2=\frac{2}{3}k-\frac{2}{3}=\frac{2}{3}(k-1)$$a_2=\cfrac 23 k-\cfrac 23 =\cfrac 23 (k-1)$ 또는 $a_2=\frac{2}{3k}$$a_2=\cfrac 2{3k}$

  조건 가를 생각하면, $a_2=\frac{2}{3}(k-1)$$a_2=\cfrac 23(k-1)$일 때 $k>1$$k>1$이고 $a_2=\frac{2}{3k}$$a_2=\cfrac 2{3k}$

  i. $a_2=\frac{2}{3}(k-1)$$a_2=\cfrac 23(k-1)$ 일 때,

  $\begin{array}{c}{a}_2=\frac{2}{3}(k-1)=\{\begin{array}{l}{a}_1-\frac{2}{3}k\\ -k{a}_1\end{array}\end{array}$$a_2=\cfrac 23 (k-1)=\begin{cases} a_1-\cfrac 23k \\ -ka_1\end{cases}$

  $k=2(k>1)$$k=2 (k>1)$ 또는 $2k-2=-3k^2$$2k-2=-3k^2$을 풀면 $k=\frac{-1\pm \sqrt{1+6}}{3}$$k=\cfrac{-1\pm\sqrt{1+6}}{3}$

  그.런.데. $-1+\sqrt{7}<3$$-1+\sqrt 7 <3$이므로 $k<1$$k<1$이므로 모순이다.

  $\therefore k=2$$\therefore~ k=2$

  ii. a_2=\cfrac 2{3k}$일 때,

  $\begin{array}{c}{a}_2=\frac{2}{3k}=\{\begin{array}{l}{a}_1-\frac{2}{3}k\\ -k{a}_1\end{array}\end{array}$$a_2=\cfrac 2{3k} =\begin{cases} a_1-\cfrac 23k\\ -ka_1\end{cases}$

  $\frac{2}{3k}=\frac{1}{3}k⟶k^2=2$$\cfrac 2{3k} =\cfrac 13k\quad \longrightarrow \quad k^2=2$

  $\therefore k=\sqrt{2}$$\therefore~ k=\sqrt 2$

  $\frac{2}{3k}=-k^2$$\cfrac 2{3k} =-k^2$에서 $k^3=-\frac{2}{3}$$k^3 =-\cfrac 23$

  $k<0$$k<0$으로 조건에 위배

$\therefore$$\therefore~$가능한 $k$$k$의 값은 $\sqrt{\frac{2}{3}},\frac{2}{\sqrt{3}},2,\sqrt{2}$$\sqrt{\cfrac23}, ~\cfrac 2{\sqrt 3},~ 2,~\sqrt 2$

$\therefore \frac{2}{3}+\frac{4}{3}+4+2=8$$\therefore~ \cfrac 23 +\cfrac 43 +4+2=8$

아우 더러워....