2024년 03월 15번

15. 수열 $\{a_n\}$$\{a_n\}$이 모든 자연수 $n$$n$에 대하여 $\begin{array}{c}{a}_{n+1}=\{\begin{array}{ll}{a}_n& (a_n>n)\\ 3n-2-a_n& (a_n\le n)\end{array}\end{array}$$a_{n+1}=\begin{cases} a_n &(a_n>n)\\ 3n-2-a_n &(a_n\le n)\end{cases}$을 만족시킬 때, $a_5=5$$a_5=5$가 되도록 하는 모든 $a_1$$a_1$의 곱을 구하시오.

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i. 생각

• 생각이고 뭐고 그냥 따라가면 된다!!!

ii. 시작

i. $\begin{array}{c}{a}_5=5=\{\begin{array}{ll}{a}_4& (a_4>4)\\ 10-a_4& (a_4\le 4)\end{array}⟶a_4=5\end{array}$$a_5=5=\begin{cases} a_4 &(a_4>4)\\ 10-a_4&(a_4\le 4)\end{cases} \quad \longrightarrow \quad a_4=5$

 

ii. $\begin{array}{c}{a}_4=5=\{\begin{array}{ll}{a}_3& (a_3>3)\\ 7-a_3& (a_3\le 3)\end{array}⟶a_3=5\end{array}$$a_4=5=\begin{cases} a_3 &(a_3>3)\\ 7-a_3&(a_3\le 3)\end{cases} \quad \longrightarrow \quad a_3=5$ 또는 $a_3=2$$a_3=2$

 

iii. $a_3=5$$a_3=5$일 때,

$\begin{array}{c}{a}_3=5=\{\begin{array}{ll}{a}_2& (a_2>2)\\ 4-a_2& (a_2\le 2)\end{array}⟶a_2=5\end{array}$$a_3=5=\begin{cases} a_2 &(a_2>2)\\ 4-a_2&(a_2\le 2)\end{cases} \quad \longrightarrow \quad a_2=5$ 또는 $a_2=-1$$a_2=-1$

i. $a_2=5$$a_2=5$일 때,

$\begin{array}{c}{a}_2=5=\{\begin{array}{ll}{a}_1& (a_1>1)\\ 1-a_1& (a_1\le 1)\end{array}⟶a_1=5\end{array}$$a_2=5=\begin{cases} a_1 &(a_1>1)\\ 1-a_1&(a_1\le 1)\end{cases} \quad \longrightarrow \quad a_1=5$ 또는 $a_1=-4$$a_1=-4$

ii. $a_2=-1$$a_2=-1$일 때,

$\begin{array}{c}{a}_2=-1=\{\begin{array}{ll}{a}_1& (a_1>1)\\ 1-a_1& (a_1\le 1)\end{array}⟶\end{array}$$a_2=-1=\begin{cases} a_1 &(a_1>1)\\ 1-a_1&(a_1\le 1)\end{cases} \quad \longrightarrow \quad$없다!

iv. $a_3=2$$a_3=2$일 때,

$\begin{array}{c}{a}_3=2=\{\begin{array}{ll}{a}_2& (a_2>2)\\ 4-a_2& (a_2\le 2)\end{array}⟶a_2=2\end{array}$$a_3=2=\begin{cases} a_2 &(a_2>2)\\ 4-a_2&(a_2\le 2)\end{cases} \quad \longrightarrow \quad a_2=2$

$\begin{array}{c}{a}_2=2=\{\begin{array}{ll}{a}_1& (a_1>1)\\ 1-a_1& (a_1\le 1)\end{array}⟶a_1=2\end{array}$$a_2=2=\begin{cases} a_1 &(a_1>1)\\ 1-a_1&(a_1\le 1)\end{cases} \quad \longrightarrow \quad a_1=2$ 또는 $a_1=-1$$a_1=-1$

$\therefore a_1=5,-4,2,-1$$\therefore~ a_1=5,~-4,~2,~-1$

$\therefore 40$$\therefore~ 40$