2023년 10월 21번

21. 그림과 같이 선분 $BC$$BC$를 지름으로 하는 원에 두 삼각형 $ABC$$ABC$와 $ADE$$ADE$가 모두 내접한다. 두 선분 $AD$$AD$와 $BC$$BC$가 점 $F$$F$에서 만나고 $\overline{BC}=\overline{DE}=4,\overline{BF}=\overline{CE},\sin (\mathrm{\angle }CAE)=\frac{1}{4}$$\overline{BC}=\overline{DE}=4,~\overline{BF}=\overline{CE},~\sin (\angle CAE)=\cfrac 14$이다. $\overline{AF}=k$$\overline{ AF}=k$일 때, $k^2$$k^2$의 값을 구하시오.

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i. 생각

• $\overline{BC}=\overline{DE}=4$$\overline{BC}=\overline{DE}=4$

  지름이니까,

  $\mathrm{\angle }BAC=\mathrm{\angle }DAE=\frac{\pi }{2}$$\angle BAC=\angle DAE=\cfrac{\pi}2$이고 조금 더 생각하면, $\mathrm{\angle }BAF=\mathrm{\angle }CAE$$\angle BAF=\angle CAE$

  어? 그럼 $\overline{BD}=\overline{CE}$$\overline{BD}=\overline{CE}$이고 원주각을 생각해야하나?

• 사인법칙?

  $\mathrm{△}ACE$$\triangle ACE$에서

  $\frac{\overline{EC}}{\sin (\mathrm{\angle }CAE)}=4$$\cfrac {\overline{EC}}{\sin (\angle CAE)}=4$

  $\therefore \overline{CE}=1$$\therefore~ \overline{CE}=1$​

  $\overline{BF}=1$$\overline{ BF}=1$

• $\mathrm{△}ABF$$\triangle ABF$에 사인법칙을 이용해보자

  $\frac{\overline{BF}}{\sin (\mathrm{\angle }BAF)}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=\frac{\overline{AF}}{\sin (\mathrm{\angle }ABF)}$$\cfrac{\overline{BF}}{\sin(\angle BAF)}=\cfrac 1{\cfrac 14}=\cfrac{\overline{AF}}{\sin(\angle ABF)}$

  $\overline{AF}=4\sin (\mathrm{\angle }ABF)$$\overline{AF}=4\sin(\angle ABF)$

  뭐가 또 없나...?

  $\mathrm{\angle }ABF$$\angle ABF$를 ..아.. $\overline{BC}\times \sin (\mathrm{\angle }ABF)=\overline{AC}$$\overline{BC}\times \sin (\angle ABF)=\overline{AC}$

  $\overline{AC}=4\sin (\mathrm{\angle }ABF)$$\overline{ AC}=4\sin(\angle ABF)$

  오...

  $\overline{AF}=\overline{AC}$$\overline{AF}=\overline{AC}$

  $\mathrm{△}AFC$$\triangle AFC$는 $\overline{AF}=\overline{AC}$$\overline{ AF}=\overline{ AC}$​인 이등변삼각형이다.

  주어진 길이에 대한 정보를 활용하면 $\overline{FC}=3$$\overline{ FC}=3$이다. ($\because \overline{BC}=4,\overline{BF}=1$$\because~ \overline{ BC}=4,~\overline{BF}=1$)

$\mathrm{\angle }FAC$$\angle FAC$의 코사인 값을 구할 수 있겠다?

ii. $\mathrm{\angle }FAC$$\angle FAC$를 살펴보자.

$\mathrm{\angle }BAF=\mathrm{\angle }CAE$$\angle BAF=\angle CAE$

$\sin \mathrm{\angle }CAE=\frac{1}{4}$$\sin\angle CAE=\cfrac 14$

$\mathrm{\angle }BAC=\frac{\pi }{2}$$\angle BAC=\cfrac {\pi}2$

어??

$\mathrm{\angle }FAC=\frac{\pi }{2}-\mathrm{\angle }CAE$$\angle FAC=\cfrac {\pi}2 -\angle CAE$

올레~!

$\cos \mathrm{\angle }FAC=\cos (\frac{\pi }{2}-\mathrm{\angle }CAE)=\sin \mathrm{\angle }CAE=\frac{1}{4}$$\cos \angle FAC=\cos (\cfrac {\pi}2 -\angle CAE)=\sin \angle CAE=\cfrac 14$

iii. $\mathrm{△}AFC$$\triangle AFC$에 대해 코사인 제$2$$2$법칙을 이용하자.

$3^2=k^2+k^2-2kk\cos (\mathrm{\angle }FAC)$$3^2=k^2+k^2 -2kk\cos (\angle FAC)$

$9=\frac{3}{2}{k}^2$$9=\cfrac 32 k^2$

$\therefore k^2=6$$\therefore~ k^2=6$