2024학년도 09월 22번

22. 두 다항함수 $f(x),g(x)$$f(x),~g(x)$에 대하여 $f(x)$$f(x)$의 한 부정적분을 $F(x)$$F(x)$라 하고 $g(x)$$g(x)$의 한 부정적분을 $G(x)$$G(x)$라 할 때, 이 함수들은 모든 실수 $x$$x$에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\begin{array}{r}{\int }_1^{x}f(t)dt=xf(x)-2x^2-1\end{array}$$\begin{aligned} \int_1^x f(t)dt =xf(x)-2x^2 -1\end{aligned}$

(나) $f(x)G(x)+F(x)g(x)=8x^3+3x^2+1$$f(x)G(x)+F(x)g(x)=8x^3 +3x^2 +1$

$\begin{array}{r}{\int }_1^{3}g(x)dx\end{array}$$\begin{aligned} \int_1^3 g(x)dx \end{aligned}$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• 조건 가

  • $x=1$$x=1$을 대입하면,

    $0=f(1)-3⟶f(1)=3$$0=f(1)-3\quad \longrightarrow \quad f(1)=3$

  • 어...음....또 하고 싶은 건..미분이겠다?

    $f(x)=f(x)+x{f}^{\prime }(x)-4x$$f(x)=f(x)+xf'(x)-4x$

    $x{f}^{\prime }(x)=4x$$xf'(x)=4x$

    다항함수니까... $f^{\prime }(x)=4$$f'(x)=4$

    $\therefore f(x)=4x-3$$\therefore~ f(x)=4x -3$

• 조건 나

  • 음...우선 차수부터 생각해야겠다. $g(x)$$g(x)$는 $n$$n$차 함수라고 하면,

    $(n+1)$$(n+1)$차 $+(n+2)$$+(n+2)$차=3차

    $n+2=3$$n+2=3$

    $\therefore n=1$$\therefore~ n=1$

    $g(x)$$g(x)$도 $1$$1$차 함수다!

  • 이제 계수를 구할 수 있을 것 같은데?

    최고차항의 계수만 생각하자.

    $g(x)=ax+b$$g(x)=ax+b$라 하면,

    $4x\times \frac{a}{2}{x}^2+\sim +2x^2\times ax+\sim =8x^3+\sim$$4x\times \cfrac a2 x^2 +\sim +2x^2 \times ax +\sim=8x^3+\sim$

    $2a+2a=8$$2a +2a =8$

    $\therefore a=2$$\therefore~ a=2$

    $\therefore g(x)=2x+b$$\therefore~ g(x)=2x+b$

  • $b$$b$를 어디서 구할까...?

    우선 식을 써보자.

    $(4x-1)(x^2+bx+C_1)+(2x^2-x+C_2)(2x+b)=8x^3+3x^2+1$$(4x-1)(x^2 +bx+C_1)+(2x^2 -x+C_2)(2x+b)=8x^3 +3x^2 +1$

    흠...$C_1,C_2$$C_1,~C_2$는 전혀 관심사항이 아니고.....이차항의 계수만 계산하면 $b$$b$를 구할 수 있겠다?

    $4b-1+2b-2=3$$4b-1+2b-2=3$

    $\therefore 6b=6⟶b=1$$\therefore~ 6b=6 \quad \longrightarrow \quad b=1$

    $\therefore g(x)=2x+1$$\therefore~ g(x)=2x+1$

ii. 끝~~

$\begin{array}{rl}{\int }_1^{3}g(x)dx& ={\int }_1^3(2x+1)dx\\ & =[x^2+x{]}_1^3\\ & =(9+3)-(1+1)\\ & =10\end{array}$$\begin{aligned} \int_1^3 g(x)dx &=\int_1^3 (2x+1)dx \\ &= [x^2 +x]_1^3 \\ &=(9+3)-(1+1)\\ &= 10\end{aligned}$​