2022년도 03월 기하 29번

29. 두 점 $F,F^{\prime }$$F,~F'$을 초점으로 하는 쌍곡선 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{32}=1$$\cfrac{x^2}4-\cfrac {y^2}{32}=1$ 위의 점 $A$$A$가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $\overline{AF}<\overline{A{F}^{\prime }}$$\overline{AF}<\overline{AF'}$

(나) 선분 $AF$$AF$의 수직이등분선은 점 $F^{\prime }$$F'$을 지난다.

선분 $AF$$AF$의 중점 $M$$M$에 대하여 직선 $M{F}^{\prime }$$MF'$과 쌍곡선의 교점 중 점 $A$$A$에 가까운 점을 $B$$B$라 할 때, 삼각형 $BFM$$BFM$의 둘레의 길이는 $k$$k$이다. $k^2$$k^2$의 값을 구하시오.

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i. 정리

• 쌍곡선의 정의를 이용하자.

  • 초점 : $F^{\prime }(-6,0),F(6,0)$$F'(-6,~0),~F(6,~0)$
  • 거리의 차 : $4$$4$

• 어? 치사하게 그래프를 안 그려줬다. 대충 그리자. (점근선을 대충 그린 후에 대충 그리면 얼추 맞을 듯?)

ii. 그래프를 그리고 생각하자.

• $\overline{F^{\prime }F}=12$$\overline{F'F}=12$

• $\mathrm{△}{F}^{\prime }FA$$\triangle F'FA$는 $\overline{F^{\prime }A}=\overline{F^{\prime }F}$$\overline{F'A}=\overline{F'F}$인 이등변삼각형이다. (왜냐고? 조건 (나)를 생각하자.)

  이등변 삼각형의 성질은?

• 쌍곡선의 정의를 이용하자. 단, 계산상의 편의를 위하여 $\overline{AF}=2a$$\overline{AF}=2a$라 하자.

  • $\overline{AF}=2a⟶\overline{F^{\prime }A}=2a+4$$\overline{AF}=2a\quad\longrightarrow\quad \overline{F'A}=2a+4$

    어? 이등변삼각형!!! $2a+4=12$$2a+4=12$

    $\therefore 2a=8$$\therefore~2a=8$

  • $\mathrm{△}{F}^{\prime }MF$$\triangle F'MF$에서 $\overline{F^{\prime }M}=\sqrt{{12}^2-4^2}=8\sqrt{2}$$\overline{F'M}=\sqrt{12^2 -4^2}=8\sqrt 2$

• $\mathrm{△}BFM$$\triangle BFM$의 둘레$=\overline{BF}+\overline{MF}+\overline{BM}$$=\overline{BF}+\overline{MF}+\overline{BM}$

  • $\overline{BF}=b$$\overline{BF}=b$ 라 하면, $\overline{B{F}^{\prime }}=b+4$$\overline{BF'}=b+4$

  • $\overline{BF}+\overline{MF}+\overline{BM}=b+4+\overline{F^{\prime }M}-\overline{F^{\prime }B}$$\overline{BF}+\overline{MF}+\overline{BM}=b+4+\overline{F'M} -\overline{F'B}$

    어? 정리하면 뭐 나올 거 같다? 굳이 $b$$b$를 안 구해도 되는 건가?

    $\begin{array}{rl}\overline{F^{\prime }M}-\overline{F^{\prime }B}& =8\sqrt{2}-(b+4)\end{array}$$\begin{aligned}\overline{F'M}-\overline{F'B}&= 8\sqrt 2-(b+4) \end{aligned}$

    대입하면,

    헐....

    $\overline{BF}+\overline{MF}+\overline{BM}=8\sqrt{2}=k$$\overline{BF}+\overline{MF}+\overline{BM}=8\sqrt 2=k$

$\therefore k^2=(8\sqrt{2}{)}^2=128$$\therefore~k^2=(8\sqrt 2)^2 =128$